Question

如图6-5-1，假设宇宙中有三颗质量均为m的星,彼此相距为L,且保持不变,试证明这三颗行星必然绕共同的中心做匀速圆周运动,并求出其做匀速圆周运动的周期和线速度.

图6-5-1

Answer 1

证明:根据题意画出此三颗恒星的位置示意图如图6-5-2所示.此三颗恒星构成正三角形，其边长为L且保持不变，则每颗恒星所受另外两颗恒星的万有引力的合力的大小为.

    每颗恒星受到另外两颗恒星的万有引力的合力提供了该恒星做匀速圆周运动的向心力.此三颗行星a、b、c所受的合力分别为F_a、F_b、F_c,且三力均等于,此三力的作用线相交于O点,O点即为此三颗星的“质量中心”(质心).显然,此三颗恒星只有都绕着O点以相同的速率、相同的周期、沿着同一轨道、同一方向做匀速圆周运动时,才能保持彼此之间的距离不变.否则将会因为相互间的万有引力而聚集在一起.由图6-5-2可知,圆轨道的半径为R=3L/3.每颗恒星需要的向心力为F_向=F_合=,则可有,故.其运行周期是.

    又由于,则运行线速度.

图6-5-2

答案:线速度,其周期是.