Question

1．如图所示，在竖直平面内有一固定光滑轨道，其中AB是长为R的水平直轨道，BCD是圆心为O、半径为R的$\frac{3}{4}$圆弧轨道，两轨道相切于B点．在外力作用下，小球从A点由静止开始做匀加速直线运动，到达B点时撤除外力．已知小球刚好能沿圆轨道经过最高点C，重力加速度为g．求：
（1）小球在B点时的速度大小；
（2）小球在AB段运动的加速度大小；
（3）小球从D点运动到A点所用的时间．

Answer 1

分析 （1）小球恰好到达最高点，知弹力为零，结合牛顿第二定律求出最高点的速度，根据机械能守恒定律求出小球在B点的速度大小．
（2）根据速度位移公式求出小球在AB段运动的加速度大小．
（3）根据机械能守恒求出D点速度和A点的速度，结合速度时间公式求出运动的时间．

解答 解：（1）小球在最高点C所受轨道正压力为零，有：
$mg=m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$，
解得：${v}_{C}=\sqrt{gR}$，
小球从B点运动到C点，根据机械能守恒有：
$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}+2mgR$，
解得：${v}_{B}=\sqrt{5gR}$．
（2）由于小球在AB段由静止开始做匀加速运动，设加速度大小为a，由运动学公式有：
${{v}_{B}}^{2}=2aR$，
解得：a=$\frac{5}{2}g$．
（3）设小球在D处的速度大小为v_D，下落到A点的速度为v，由机械能守恒有：
$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}+mgR$，
$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
设从D点运动到A点所用的时间为t，由运动学公式得，gt=v-v_D，
解得：t=$（\sqrt{5}-\sqrt{3}）\sqrt{\frac{R}{g}}$．
答：（1）小球在B点时的速度大小为$\sqrt{5gR}$；
（2）小球在AB段运动的加速度大小为$\frac{5}{2}g$；
（3）小球从D点运动到A点所用的时间为$（\sqrt{5}-\sqrt{3}）\sqrt{\frac{R}{g}}$．

点评 本题主要考查了机械能守恒，运动学基本公式的直接应用，物体恰好通过C点是本题的突破口，这一点要注意把握，难度适中．