Question

9．如图，位于竖直平面内的轨道，由一段倾斜的直轨道和与之相切的圆形轨道连接而成，两轨道相切与P点（圆形轨道的入口），Q为圆形轨道最低点．已知圆形轨道光滑，半径为R=0.6m，直轨道粗糙，与水平面的夹角为θ=37°，与小物块间的动摩擦因数为μ=0.3，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²．现让一质量m=0.1kg的小物块从直轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动，要求小物块最终不脱离轨道．试求：
（1）释放小物块的初始位置相对于切点P的高度h的取值范围；
（2）小物块通过Q点时对轨道的最小作用力．

Answer 1

分析 （1）小物块不脱离轨道，有两种情况：一种物块能做完整的圆周运动，另一种物块在下半圆上运动．研究物块恰好通过最高点和恰好到达与圆心等高位置．求临界速度，再由动能定理求h的取值范围．
（2）物块从P运动到Q时速度最小，对轨道的压力最小，由机械能守恒定律和牛顿第二定律结合求解．

解答 解：（1）当物块恰好通过圆轨道最高点时，有：mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$，
得：v₀=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{6}$m/s
从释放到圆周最高点的过程，由动能定理得：
mg[h-R（1+cos37°）]-μmgcos37°•$\frac{h}{sin37°}$=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
代入数据解得：h=2.3m
当物块恰好滑到与圆心O等高位置时，由动能定理得：
mg（h-Rcos37°）-μmgcos37°•$\frac{h}{sin37°}$=0
代入数据解得：h=0.8m
所以符合条件的h范围为：h≥2.3m或h≤0.8m
（2）物块从P运动到Q时速度最小，对轨道的压力最小，由机械能守恒定律得：
mgR（1-cos37°）=$\frac{1}{2}m{v}_{Q}^{2}$
在Q点，由牛顿第二定律得：
N-mg=m$\frac{{v}_{Q}^{2}}{R}$
联立解得：N=1.4N
所以由牛顿第三定律得小物块通过Q点时对轨道的最小作用力是1.4N．
答：（1）释放小物块的初始位置相对于切点P的高度h的取值范围为h≥2.3m或h≤0.8m；
（2）小物块通过Q点时对轨道的最小作用力是1.4N．

点评 本题属于圆周运动中绳的模型，关键要分析圆周运动的两种临界状态，知道在最高点时应该是重力恰好做为圆周运动的向心力，对于圆周运动中的两种模型一定要牢牢的掌握住．