题目内容

9．如图所示，在xOy平面内有两个有界磁场，磁感应强度大B1=B，B2=$\frac{B}{2}$，它们的边界线与y轴负方向成某一角度θ，质量为m带电量为+q的粒子，以速度v从y轴上的A点沿x轴正方向入射，已知$\overline{OA}$=$\frac{mv}{2qB}$，粒子第二次经过x轴时速度方向与x轴垂直．不计粒子重力．求：
（1）第二次经过x轴时的坐标；
（2）tanθ的值以及从A点出发到第二次经过x轴所经历的时间；
（3）在第二象限的某区域内（包含出射点）加一匀强电场，使粒子以与出发时相同的速度又回到A点．求所加电场的最小值和方向．

分析 根据洛伦兹力提供向心力求出在两磁场中的半径，画出满足题意的运动轨迹，半径${R}_{2}^{\;}$是${R}_{1}^{\;}$的两倍，根据几何关系求出夹角和边，可以很顺利的求出交点坐标，求时间找出两段圆弧对的圆心角，利用$t=\frac{θ}{360}T$求解，最后一问动能定理分析出电场力没有做功，出射点和A点在一等势面上，运用运动的合成与分解顺利求解

解答 解：（1）带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$得$R=\frac{mv}{qB}$，在${B}_{1}^{\;}$磁场中半径${R}_{1}^{\;}=\frac{mv}{qB}$，${B}_{2}^{\;}$磁场中半径${R}_{2}^{\;}=\frac{2mv}{qB}$，画出带电粒子的运动轨迹图，如图
在磁感应强度为${B}_{1}^{\;}$的匀强磁场中，圆心在B，半径${R}_{1}^{\;}$，在磁感应强度为${B}_{2}^{\;}$的匀强磁场中，圆心为C，半径${R}_{2}^{\;}$
根据题意知$\overline{OA}=\frac{mv}{2qB}$，由$\overline{OB}=\frac{mv}{2qB}$，$\overline{OC}=\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{mv}{qB}$
第二次经过x轴时的交点到原点的距离${R}_{2}^{\;}+\overline{OC}=\frac{2mv}{qB}+\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{mv}{qB}=\frac{mv}{2qB}（4+\sqrt{3}）$
所以第二次经过x轴的坐标$（-\frac{mv}{2qB}（4+\sqrt{3}），0）$
（2）由几何关系知∠OBC=60°，所以$tanθ=\frac{{R}_{1}^{\;}sin60°}{\overline{OB}+{R}_{1}^{\;}cos60°}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
由几何关系知，在${B}_{1}^{\;}$磁场中的圆心角120°，在${B}_{2}^{\;}$磁场中的圆心角150°
${t}_{1}^{\;}=\frac{120°}{360°}{T}_{1}^{\;}=\frac{1}{3}\frac{2πm}{qB}=\frac{2πm}{3qB}$，${t}_{2}^{\;}=\frac{150°}{360°}{T}_{2}^{\;}=\frac{5}{12}\frac{2πm}{q\frac{B}{2}}=\frac{5πm}{3qB}$
所以第二次经过x轴所经历的时间$t={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}=\frac{7πm}{3qB}$
（3）根据动能定理知从出射点到返回A点动能不变，电场力没有做功，知出射点和A点连线为一等势面，电场强度方向垂直连线斜向下
水平方向：${v}_{\;}^{2}=2\frac{q{E}_{x}^{\;}}{m}\frac{mv}{2qB}（4+\sqrt{3}）$解得${E}_{x}^{\;}=（4+\sqrt{3}）vB$
竖直方向：${v}_{\;}^{2}=2\frac{q{E}_{y}^{\;}}{m}\frac{mv}{2qB}$解得${E}_{y}^{\;}=vB$
电场强度的最小值$E=\sqrt{{E}_{x}^{2}+{E}_{y}^{2}}=\sqrt{（4+\sqrt{3}）_{\;}^{2}+1}vB$，方向垂直出射点和A连线斜向下
答：（1）第二次经过x轴时的坐标$（-\frac{mv}{2qB}（4+\sqrt{3}），0）$；
（2）$tanθ=\frac{\sqrt{3}}{2}$从A点出发到第二次经过x轴所经历的时间$\frac{7πm}{3qB}$；
（3）在第二象限的某区域内（包含出射点）加一匀强电场，使粒子以与出发时相同的速度又回到A点．求所加电场的最小值$\sqrt{（4+\sqrt{3}）_{\;}^{2}+1}vB$和方向垂直出射点和A点连线斜向下．

点评 本题前两小问比较基础，第三小问难度较大，需要分析清楚，不能错误的当成类平抛运动去做，掌握基本解题思想很关键．

练习册系列答案
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19．下列说法正确的是（　　）
A．原子的核式结构是汤姆生发现的
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14．物体在下列运动过程中，机械能守恒的是（　　）
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18．下列说法正确的是（　　）
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15．矩形线框在匀强磁场内匀速转动过程中，线框输出的交流电压随时间变化的图象如图所示，下列说法中正确的是（　　）
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