Question

15．平时擦玻璃时，我们经常会用到如图甲所示的“魔力刷”．使用时，两个一样的刷子分别位于玻璃窗户玻璃板的两侧，两刷子靠磁铁的吸引力吸在玻璃上，当移动其中一块刷子时，另一块刷子会跟到移动，达到同时清洁玻璃内外侧的目的．已知：某种品牌玻璃刷的每个刷子的质量都为m，与玻璃的滑动摩擦因数均为μ=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取g．

（1）将其中一个刷子用与竖直方向成θ=$\frac{π}{3}$的推力压在竖直玻璃上，如图乙所示，现要把刷子沿竖直方向向上推动，求推力的最小值
（2）把两个刷子对齐分别放在竖直玻璃板的两侧，如图丙所示，现用与竖直方向成α=$\frac{π}{3}$，大小为F₀=6mg的拉力向下拉动内侧的刷子时，外侧刷子将立即跟着移动且很快与内侧刷子保持相对静止．此时刷子磁铁间的吸引力在垂直玻璃板面方向的分量恒为6$\sqrt{3}$mg，求刷子间的磁铁吸引力在沿玻璃板面切线方向的分量．
（3）假设玻璃是边长为L的正方形，刷子是边长为d的正方形；当两刷子的正对面积大于一半时，刷子磁铁间的吸引力的垂直分量和切向分量均不变，当两刷子的正对面积小于或等于一半时，两刷子就无法吸引在一起．在（2）的情况下，若拉力方向不变，大小变为$\frac{271}{45}$mg，要使一次性向下拉动刷子就可以完成清理玻璃的竖边，求$\frac{L}{d}$的取值范围．

Answer 1

分析 对刷子受力分析，正交分解，根据平衡条件求推力F的大小；
分别对左右两侧磁刷受力分析，正交分解，根据平衡条件列方程求解

解答 解：（1）如图由受力分析知：

水平方向Fsinα=F_N①；
竖直方向：Fcosα=G+μF_N②．
由①②得F=4mg
（2）设磁力刷垂直玻璃板方向的分力为F₂，切向方向的分力为F₁．
如图对左右两刷子受力分析可知：

左侧磁刷：水平方向F_N1=F₂③；
竖直方向G+F₁-μF_N1=ma④；
右侧磁刷：水平方向F₂=F₀sinθ+F_N2⑤；
竖直方向G+F₀cosθ-F₁-μ（F₂-F₀sinθ）=ma⑥；
由③④⑤⑥得a=$\frac{g}{4}$；
F₁=$\frac{9mg}{4}$
（3）因为F=$\frac{271}{45}$mg＞6mg，
所以左侧磁刷a₁=$\frac{g}{4}$ ⑦，
右侧磁刷a₂=$\frac{G+Fcosθ-{F}_{1}-μ（{F}_{2}-Fsinθ）}{m}$=$\frac{4}{15}$g⑧
由运动分析知：右侧磁刷从上到下运动的位移x₂=L-d=$\frac{1}{2}$a₂t²⑨；
当右侧到达下面时，左侧磁刷运动的位移x₁=L-$\frac{3}{2}$d=$\frac{1}{2}$a₁t²=10 ⑩，
由⑦⑧⑨⑩得$\frac{d}{L}$=$\frac{1}{9}$
答：
（1）推力的最小值为4mg；
（2）刷子间的磁铁吸引力在沿玻璃板面切线方向的分量为$\frac{9}{4}$mg．
（3）$\frac{d}{L}$的取值范围为$\frac{d}{L}$≤$\frac{1}{9}$．

点评 本题属于实际问题，关键是将实际问题转化为对应的物理模型，考查了建模能力，是一道考查能力的好题．