Question

12．已知某星球半径为R，若宇航员随登陆舱登陆该星球后，在此星球表面某处以速度v₀竖直向上抛出一个小球，小球能上升的最大高度为H（H＜＜R），（不考虑星球自转的影响，引力常量为G）．
（1）求星球表面的自由落体加速度和该星球的质量；
（2）在登陆前，宇宙飞船绕该星球做匀速圆周运动，运行轨道距离星球表面高度为h，求卫星的运行周期T．

Answer 1

分析 以初速度v₀竖直上抛一物体，物体在重力作用下做匀减速直线运动，当物体速度减为0时，物体上升到最大高度，已知初速度末速度和位移，根据匀变速直线运动的速度位移关系可以求出该星球表面的重力加速度g，卫星绕星球表面做匀速圆周运动，重力提供万有引力，据此列式可得卫星运行的周期．

解答 解：（1）、在星球表面，抛出小球后做竖直上抛运动，
由${v}_{0}^{2}=2gH$
可得表面的重力加速度g=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2H}$
星球表面的物体受到的重力等于万有引力
$G\frac{Mm}{R^2}=mg$
可得星球的质量$M=\frac{{g{R^2}}}{G}=\frac{{v_0^2{R^2}}}{2GH}$
（2）根据万有引力提供飞船圆周运动的向心力
$G\frac{Mm}{{{{（R+h）}^2}}}=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}（R+h）$
有飞船的周期为T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{GM}}$=$\frac{2π（R+h）}{{R{v_0}}}\sqrt{2（R+h）H}$
答：（1）求星球表面的自由落体加速度为$\frac{{v}_{0}^{2}}{2H}$，该星球的质量为$\frac{{v}_{0}^{2}{R}^{2}}{2GH}$；
（2）在登陆前，宇宙飞船绕该星球做匀速圆周运动，运行轨道距离星球表面高度为h，卫星的运行周期T为$\frac{2π（R+h）}{{R{v_0}}}\sqrt{2（R+h）H}$．

点评 认清竖直上抛运动的本质，根据匀减速直线运动规律求出物体的重力加速度，注意负号含义的交代，卫星运行的最小周期根据重力提供圆周运动的向心力列式求解即可．