Question

在光滑绝缘的水平面上，存在平行于水平面向右的匀强电场，电场强度为E．水平面上放置两个静止的小球彳和B（均可看作质点），两小球质量均为m，A球带电荷量为+q，B球不带电，A、B连线与电场线平行．开始时两球相距L，在电场力作用下，A球开始运动（此时为计时零点，即t=0），后与B球发生对心碰撞，碰撞过程中A、B两球总动能无损失．设在各次碰撞过程中，A、B两球间无电量转移，且不考虑两球碰撞时间及两球间的万有引力．求：
（1）第一次碰撞结束瞬间A、B两球的速度各为多大？
（2）从计时零点到即将发生第三次碰撞这段过程中，共经过多长时间？
（3）从计时零点到即将发生第n次碰撞这段过程中，小球A经过的位移大小为多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）根据牛顿第二定律求出A球的加速度，由速度位移公式求出A球与B球碰撞前的速度．由于碰撞过程中A、B两球总动能无损失，交换速度．
（2）根据速度公式求出第一次碰撞时间．第一次碰后，A球追及B球，当位移相等时，发生第二碰撞，由位移相等求出第二次碰撞时间．同理求解第三次碰撞时间．
（3）采用归纳法分别分析从计时零点到即将发生第1次碰撞这段过程、第1次碰撞到即将发生第2次碰撞这段过程、从第2次碰撞到即将发生第3次碰撞这段过程…A球经过的位移，得出规律，再求总位移．
解答：解：（1）A球的加速度为a=
碰前A的速度为v_A1==，碰前B的速度为v_B1=0由于碰撞过程中A、B两球总动能无损失，交换速度，则碰撞后A、B的速度分别
   v_A1′=0，v_B1′=v_A1=．
（2）A、B球发生第一次、第二次、第三次的碰撞时间分别为t₁、t₂、t₃．
则t₁==
第一次碰后，经t₂-t₁时间A、B两球发生第二次碰撞，设碰前瞬间A、B两球速度为v_A2和v_B2，则有
   v_B1′（t₂-t₁）=
解得，t₂=3t₁
   v_A2=a（t₂-t₁）=2at₁=2v_A1=2
  v_B2=v_B1′=
第二次碰后瞬间，A、B两球速度分别为
v_A2′和v_B2′，经t₃-t₂时间A、B两球发生碰撞，并设碰撞前瞬间A、B两球速度分别v_A3和v_B3
则v_A2′=v_B2=
v_B2′=v_A2=2
当v_B2′（t₃-t₂）=v_A2′（t₃-t₂）+a发生第三次碰撞
解得，t₃-t₂=t₂-t₁，t₃=5
（3）从计时零点到即将发生第1次碰撞这段过程中，小球A经过的位移为S₁=L，由（2）分析知，每次碰撞后A、B小球交换速度，通过运算可知，
从第1次碰撞到即将发生第2次碰撞这段过程中，A球经过的位移为S₂=4L，
从第2次碰撞到即将发生第3次碰撞这段过程中，A球经过的位移为S₃=8L，
…
从第（n-1）次碰撞到即将发生第n次碰撞这段过程中，A球经过的位移为S_n=（n-1）4L，
所以，从计时零点到即将发生第n次碰撞这段过程中，小球A经过的位移大小为
S=S₁+S₂+S₃+…+S_n=L+4L+8L…+（n-1）4L=【1+2n（n-1）】L
答：
（1）第一次碰撞结束瞬间A、B两球的速度分别为0和．
（2）从计时零点到即将发生第三次碰撞这段过程中，共经过5时间．
（3）从计时零点到即将发生第n次碰撞这段过程中，小球A经过的位移大小为【1+2n（n-1）】L．
点评：本题是小球周期性运动问题，关键要采用归纳法总结规律，运用数学方法求解．