Question

13．一人骑摩托车追赶距他h=400m处的平直公路上正以v₀=54km/h的速度匀速行驶的一辆汽车，当摩托车与汽车相距d=500m时，此人开始沿一条直线匀速追赶汽车，如图所示．问此人应以多大的最小速度向什么方向运动才能追上目标？这种情况下对应的时间为多少？

Answer 1

分析 设人看到汽车的视线与公路AD的夹角为α，人跑动的方向与视线的夹角为θ，根据同时性，运用正弦定理，求出人跑动速度与汽车速度及α角的关系，根据数学分析人的速度什么条件最小．

解答 解：用α表示人看到汽车的视线与人跑动的方向之间的夹角，θ表示视线与公路间的夹角．
   设人从B处跑到公路上的D处与汽车相遇，所用的时间为t，
对△ABD有：AD=v₁t，BD=v₂t，AB=d，∠ABD=α，sinθ=$\frac{h}{d}$
根据正弦定理列式可得：$\frac{AD}{sinα}=\frac{BD}{sinθ}$，
即$\frac{{v}_{0}t}{sinα}=\frac{{v}_{2}t}{sinθ}$，
${v}_{2}=\frac{sinθ}{sinα}{v}_{0}=\frac{h{v}_{0}}{dsinα}$
要使人的速度最小，sinα应该最大，即α=90°，${v}_{2}=\frac{h{v}_{0}}{d}=\frac{400×15}{500}m/s=12m/s$．
人应该沿垂直AB方向运动．对应的时间$t=\frac{h}{sinθ{v}_{2}}=\frac{400}{\frac{4}{5}×12}s≈41.67s$．
答：人应该沿垂直AB方向运动．速度最小，最小速度为12m/s，对应的时间为41.67s．

点评 本题是典型的相遇问题，关键抓住两个物体的联系，同时，要利用数学知识求极值，考查应用数学知识解决物理问题的能力．