Question

10．在平面xOy中存在如图所示的磁场，在MON区域的匀强磁场为B₁，在x轴下方如图矩形区域内存在匀强磁场为B₂．磁场的上边界与x轴重合，一个带电量为q的微粒质量为m．从y轴上的A点以速度V₀水平方向出发，刚好垂直经过OM边上．后经过无场区又进入磁场，最后又回到A点．已知m=1.6×10^-9kg，q=1×10^-8C，θ=45°，V₀=10m/s，OA=0.5m．不计重力．
（1）求MON的区域的磁场的磁感应强度B₁为多少？
（2）求x轴下方的磁场的磁感应强度B₂为多少？磁场B₂的面积至少为多少？
（3）求粒子从A点开始到回到A点所用时间？（以上结果均保留二位有效数字）

Answer 1

分析 （1）由题设条件，从A点水平射出的粒子恰好垂直打在ON上，由可以确定粒子做匀速圆周运动的半径与OA长相等．再由洛仑兹力提供向心力，求出磁感应强度的大小．
（2）要使粒子能够回到A点，由对称性画出粒子在空间的运动轨迹，由几何关系求出粒子在B₂中做匀速圆周运动的半径，由于粒子进入x轴下方做匀速圆周运动，再由几何关系求出B₂的最小面积．
（3）由运动学公式，分别求出粒子在磁场B1和B2的运动时间，以及做匀速直线运动的时间，三者相加就是粒子在磁场中的时间．

解答 解：（1）由几何关系可知：R=OA=0.5m
洛仑兹力提供向心力：B₁qv₀=$\frac{{{m}_{0}}^{2}}{R}$
解得：B₁=$\frac{m{v}_{0}}{qR}$=3.2T
（2）画出粒子在该空间运动的轨迹如图所示（磁场B2是在x轴下方存在的，图中未画出），
由几何关系可知：rcosθ=$\frac{R}{cosθ}$      r=1m
洛仑兹力提供向心力：B₂qv₀=$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{r}$=1.6T
由几何关系可知：S=2r×（r+rcosθ）
解得：S=3.4m²   或S=3.5m²
（3）由周期公式：T₁=$\frac{2πm}{{B}_{1}q}$，则运动时间t₁=$\frac{1}{4}{T}_{1}$=$\frac{π}{40}$s
同理：T₂=$\frac{2πm}{{B}_{2}q}$ 
由几何关系可知：t₂=$\frac{2R}{{v}_{0}}=\frac{1}{10}s$
 t₃=$\frac{3}{4}{T}_{2}$=$\frac{3π}{20}$
解得：t=t₁+t₂+t₃=0.65s或t=0.65n  s   （n=1，2，3…）
答：（1）MON的区域的磁场的磁感应强度B₁为3.2T．
（2）x轴下方的磁场的磁感应强度B₂为1.6T，磁场B₂的面积至少为3.5m²．
（3）求粒子从A点开始到回到A点所用时间为0.65s．

点评 本题涉及的物理过程明显：先做匀速圆周运动垂直穿出磁场B₁，再做直线运动进入磁场B₂…，最后回到A点．要注意的是三个阶段的中间状态，涉及两次做匀速圆周运动的半径关系，再就是磁场B₂的最小面积应恰好包围在B₂中做匀速圆周运动的轨迹．