Question

土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动．其中有两个岩石颗粒A和B与土星中心距离分别为r_A=8.0×10⁴km和r _B=1.2×10⁵km．忽略所有岩石颗粒间的相互作用，求：（结果可用根式表示）
（1）求岩石颗粒A和B的线速度之比；
（2）求岩石颗粒A和B的周期之比；
（3）土星探测器上有一物体，在地球上重为10N，推算出他在距土星中心3.2×10⁵km处受到土星的引力为0.38N．已知地球半径为6.4×10³km，请估算土星质量是地球质量的多少倍？

Answer 1

【答案】分析：（1）由万有引力提供向心力即可列式求解；
（2）同样根据万有引力提供向心力列式求解；
（3）根据万有引力公式直接列式比较即可求解．
解答：解：（1）设土星质量为M，颗粒质量为m，颗粒距土星中心距离为r，线速度为v，据牛顿第二定律和万有引力定律有
                         
解得
                       
对于A、B两颗粒分别有
                       
                       
解得
                       
故岩石颗粒A和B的线速度之比为：2．
（2）设颗粒绕土星作圆周运动的周期为T，则有
                        
对于A、B两颗粒分别有
                        
                       
解得
                      
故岩石颗粒A和B的周期之比为2：9．
（3）设地球质量为M，地球半径为r，地球上物体的重力可视为万有引力，探测器上物体质量为m，在地球表面重力为
G，距土星中心r′=3.2×10⁵ km处的引力为G′，根据万有引力定律有
                    
                         
解得
                     
故土星质量大约是地球质量的95倍．
点评：本题是万有引力定律得简单应用问题，可列出表达式直接对比求解．