Question

6．美国科学家发射的最新火星登陆器“凤凰”号（造价高达4.2亿美元）登陆火星后（下图为“凤凰”号着陆情景），为了测定火星的重力加速度，进行了如下实验．在一外方内圆的盒子内放一个小球，且小球质量与盒子质量相等均为m，通过计算机控制，给小球一个初速度v，让小球在竖直平面内做圆周运动，结果发现小球在经过最高点时盒子刚好能离开地面，已知盒子内壁光滑，半径为r，火星的半径为R试求：
（1）火星表面的重力加速度，
（2）火星的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）根据机械能守恒定律求出小球在最高点的速度，结合牛顿第二定律求出火星表面的重力加速度．
（2）根据万有引力提供向心力求出第一宇宙速度．

解答 解：（1）设小球经过最高点时速度为υ'，由最低点到最高点时，机械能守恒，则有：
$\frac{1}{2}$$mV{′}^{2}+mg2R=\frac{1}{2}m{V}^{2}$
在最高点，由题意可知方盒对小球向下的作用力为mg，由牛顿第二定律得：
F_合=mg+mg=m$\frac{V{′}^{2}}{R}$
联立解得：g=$\frac{{V}^{2}}{6R}$…①
（2）设火星质量为M，则由万有引力定律可得在火星表面上有：$\frac{GMm}{R{′}^{2}}$=mg…②
当“凤凰”号沿火星表面上附近运动时有：$\frac{GMm}{R{′}^{2}}$=$\frac{m{V}_{1}^{2}}{R′}$…③
联立①②③解得：υ₁=υ$\sqrt{\frac{R′}{6R}}$
答：（1）火星表面的重力加速度$\frac{{V}^{2}}{6R}$．
（2）火星的第一宇宙速度V$\sqrt{\frac{R′}{6R}}$．

点评 本题综合考查了机械能守恒定律和牛顿第二定律，以及考查了万有引力提供向心力和万有引力等于重力这两个理论，综合性较强，对学生能力的要求较高．