Question

8．如图甲所示，建立Oxy坐标系，两平行极板P、Q垂直于y轴且关于x轴对称，极板长度和板间距均为l，第一四象限有磁场，方向垂直于Oxy平面向里．位于极板左侧的粒子源沿x轴间右连续发射质量为m、电量为+q、速度相同、重力不计的带电粒子在0～3t₀时间内两板间加上如图乙所示的电压（不考虑极边缘的影响）．已知t=0时刻进入两板间的带电粒子恰好在t₀时刻经极板边缘射入磁场．上述m、q、l、t₀、B为已知量．（不考虑粒子间相互影响及返回板间的情况）

（1）求电压U₀的大小．
（2）求$\frac{1}{2}$t₀时进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径．
（3）何时射入两板间的带电粒子在磁场中的运动时间最短？求此最短时间．

Answer 1

分析 （1）t=0时刻进入两极板的带电粒子在电场中做类平抛运动．由题知道x方向位移为l，y方向位移为$\frac{l}{2}$，运用运动的分解，根据牛顿第二定律和运动学公式求解U．
（2）$\frac{1}{2}$t₀时刻进入两极板的带电粒子，前$\frac{1}{2}$t₀时间在电场中偏转，后$\frac{1}{2}$t₀时间两极板没有电场，带电粒子做匀速直线运动．根据运动学规律求出y方向分速度与x方向分速度，再合成求出粒子进入磁场时的速度，则牛顿定律求出粒子在磁场中做圆周运动的半径．
（3）带电粒子在磁场中运动的周期一定，当轨迹的圆心角最小时，在磁场中运动的时间最短．

解答 解：（1）t=0时刻进入两极板的带电粒子在电场中做匀变速曲线运动，t₀时刻刚好从极板边缘射出，
则有 y=$\frac{1}{2}$l，x=l，
电场强度：E=$\frac{{U}_{0}}{L}$…①，
由牛顿第二定律得：Eq=ma…②，
偏移量：y=$\frac{1}{2}$at₀²…③
由①②③解得：U₀=$\frac{m{l}^{2}}{q{t}_{0}^{2}}$…④．
（2）$\frac{1}{2}$t₀时刻进入两极板的带电粒子，前$\frac{1}{2}$t₀时间在电场中偏转，后$\frac{1}{2}$t₀时间两极板没有电场，带电粒子做匀速直线运动．
带电粒子沿x轴方向的分速度大小为：v_x=v₀=$\frac{l}{{t}_{0}}$…⑤
带电粒子离开电场时沿y轴负方向的分速度大小为：v_y=a•$\frac{1}{2}$t₀ …⑥
带电粒子离开电场时的速度大小为：v=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}$…⑦
设带电粒子离开电场进入磁场做匀速圆周运动的半径为R，
由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$…⑧，
由③⑤⑥⑦⑧解得：R=$\frac{\sqrt{5}ml}{2qB{t}_{0}}$…⑨；
（3）在t=2t₀时刻进入两极板的带电粒子，在电场中做类平抛运动的时间最长，飞出极板时速度方向与磁场边界的夹角最小，
而根据轨迹几何知识可知，轨迹的圆心角等于粒子射入磁场时速度方向与边界夹角的2倍，
所以在t=2t₀时刻进入两极板的带电粒子在磁场中运动时间最短．
带电粒子离开磁场时沿y轴正方向的分速度为：v_y′=at₀ …⑩，
设带电粒子离开电场时速度方向与y轴正方向的夹角为α，则：tanα=$\frac{{v}_{0}}{{v}_{y}′}$，
由③⑤⑩解得：α=$\frac{π}{4}$，带电粒子在磁场运动的轨迹图如图所示，
圆弧所对的圆心角为：2α=$\frac{π}{2}$，
所求最短时间为：t_min=$\frac{1}{4}$T，
带电粒子在磁场中运动的周期为：T=$\frac{2πm}{qB}$，
联立以上两式解得：t_min=$\frac{πm}{2qB}$；
答：（1）电压U₀的大小为$\frac{m{l}^{2}}{q{t}_{0}^{2}}$；
（2）$\frac{1}{2}$t₀时刻进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径为$\frac{\sqrt{5}ml}{2qB{t}_{0}}$；
（3）在t=2t₀时刻进入两板间的带电粒子在磁场中的运动时间最短，最短时间为$\frac{πm}{2qB}$．

点评 该题考查到的知识点较多，首先是考察到了离子在匀强电场中的偏转，并且电场还是变化的，这就要求我们要有较强的过程分析能力，对物体的运动进行分段处理；还考察到了离子在匀强磁场中的偏转，要熟练的会用半径公式和周期公式解决问题；在解决粒子在有界磁场中的运动时间问题时，要注意偏转角度与运动时间的关系，熟练的运用几何知识解决问题．是一道难度较大的题．