Question

如图所示，A₁D是水平面，AC是倾角为45°的斜面，小物块从A点由静止释放沿ACD滑动，到达D点时速度刚好为零．将上述过程改作平抛运动，小明作了以下三次尝试，物块最终也能到达D点：第一次从A点以水平初速度v₁向右抛出物块，其落点为斜面AC的中点B；第二次从A点以水平初速度v₂向右抛出物块，其落点为斜面的底端C；第三次从A点以水平初速度v₃向右抛出物块，其落点刚好为水平面上的D点．已知∠AA₁C=90°，长度A₁C=CD，物块与斜面、水平面之间的动摩擦因数均相同，经C点的速率不变．求
（1）物块与斜面间的动摩擦因数μ；
（2）初速度之比v₁：v₂：v₃；
（3）物块落到B、C两点前瞬时速度v_B、v_C大小比值．

Answer 1

分析：（1）对物块从A-D的运动过程运用动能定理（在此过程中只有重力和摩擦力做功，初末动能都为零）即可解题；
（2）三次运动都做平抛运动，根据几何关系可知，三次运动的水平位移和竖直高度都是已知的，根据平抛运动的基本公式即可求解；
（3）根据运动的合成与分解，求出物块在B、C两点的速度，然后求出其比值．

解答：解：（1）物块从A→C→D过程中，由动能定理得：
mgx_ACsin45°-μmgx_ACcos45°-μmgx_CD=0，
解得：μ=

xACsin45°

xACcos45°+xCD

=0.5；
（2）A→B：x₁=v₁t₁y1=

1

2

g

t

2 1

，
A→C：x₂=v₂t₂y2=

1

2

g

t

2 2

，
A→D：2x₂=v₃t₃
y2=

1

2

g

t

2 3

，
因tan45°=

y1

x1

=

y2

x2

，y₂=2y₁，
所以

t1

t2

=

1

2

，

v1

v2

=

1

2

，
因t₂=t₃，所以

v2

v3

=

2

2 2

初速度之比v₁：v₂：v₃=1：

2

：2

2

；
（3）物块在B点的速度大小：vB=

v 2 1 +(gt1)2

，
在C点速度大小：vC=

v 2 2 +(gt2)2

=

( 2 v1)2+( 2 gt1)2

，
则两速度之比：

vB

vC

=

v 2 1 +(gt1)2

( 2 v1)2+( 2 gt1)2

=

1

2

；
答：（1）物块与斜面间的动摩擦因数为0.5；
（2）初速度之比v₁：v₂：v₃=1：

2

：2

2

；
（3）物块落到B、C两点前瞬时速度v_B、v_C大小比值为

1

2

．

点评：本题考查了动能定理及平抛运动的相关概念和公式，解题时对数学知识的要求比较高，难度较大．