Question

一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段用不同半径的小圆弧来代替．通过曲线上某点作曲率圆，其半径是该点的曲率半径．现将一物体在竖直平面内沿与水平方向成一定角度从A点抛出，最高点B点的曲率半径为ρ，线OBM竖直，落地时轨迹与ON相切于C点，且∠MON=θ，不计空气阻力，重力加速度为g，如图所示．求：
（1）物体抛出时的初速度；
（2）O点与B点的高度差．

Answer 1

分析：（1）根据曲率半径求出B点的速度，将斜抛运动分解，根据平行四边形定则求出物体抛出的初速度．
（2）斜抛运动在竖直方向上做竖直上抛运动，根据竖直上抛运动的对称性求出运动的时间，结合水平初速度求出水平位移，再结合几何关系求出O点与B点的高度差．

解答：解：（1）由最高点B：曲率半径ρ=

v 2 B

g

，得v_B=

gρ

则斜抛初速度   v₀=

vB

sinθ

=

gρ

sinθ

．
（2）水平射程AC   x=v₀sinθ t
运动的时间t=

2vy

g

=

2v0cosθ

g

．
联立解得水平位移x=2ρcotθ
则OB距离     h=

x

2

cotθ-y=ρcot2θ-

(v0cosθ)2

2g

=

1

2

ρcot²θ．
答：（1）物体抛出时的初速度为

gρ

sinθ

；
（2）O点与B点的高度差为

1

2

ρcot²θ．

点评：解决本题的关键知道斜抛运动在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做竖直上抛运动，结合等时性，运用运动学公式灵活求解．