Question

12．一个质量为m=50kg的均匀圆柱体，放在台阶的旁边，台阶的高度h是柱体半径的一半，如图所示（图示为其横截面），柱体与台阶的接触处（图中P点所示）是粗糙的．现要在圆柱体的最上方A处施加最小的拉力，使柱体刚能开始以P为轴向台阶上滚，求所施加的力F₁的大小及P点对圆柱体的作用力F₂的大小（g=10N/kg）．

Answer 1

分析 （1）先确定支点，要使柱体刚能开始以P为轴向台阶上滚，在最上方A处施加最小的拉力对应A处的最大力臂；画出对应的最大力臂，即可求出所施加的力F₁的大小；
（2）以圆柱体为研究的对象进行受力分析，即可求出点对圆柱体的作用力F₂的大小．

解答 解：（1）要使柱体刚能开始以P为轴向台阶上滚，在最上方A处施加最小的拉力对应A处的最大力臂；画出对应的最大力臂如图1，则：
$cosθ=\frac{R-h}{R}=\frac{R-0.5R}{R}=0.5$
所以：θ=60°
$\overline{PD}=R•sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}R$
$\overline{AP}=\sqrt{{\overline{AD}}^{2}+{\overline{PD}}^{2}}$=$\sqrt{（R+.05R）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}R）^{2}}=\sqrt{3}R$
以圆柱体为研究的对象，相对于支点P，重力的力矩是逆时针方向，力F的力矩为顺时针方向，二者恰好平衡时：$G•\overline{PD}={F}_{1}•\overline{AP}$
所以：F₁=$\frac{\overline{PD}}{\overline{AP}}•mg=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}R}{\sqrt{3}R}•mg=\frac{1}{2}mg=\frac{1}{2}×50×10=250$N
（2）以圆柱体为研究的对象，圆柱体受到重力、P点的支持力和拉力的作用，三个力的作用线必定交于一点，如图（右），由几何关系可得：
$\frac{{F}_{2}}{\overline{AD}}=\frac{mg}{\overline{AP}}$
所以：${F}_{2}=\frac{\overline{AD}}{\overline{AP}}•mg=\frac{R+0.5R}{\sqrt{3}R}•mg=\frac{\sqrt{3}}{2}×50×10=250\sqrt{3}$N
答：使柱体刚能开始以P为轴向台阶上滚，所施加的力F₁的大小是250N，P点对圆柱体的作用力F₂的大小是$250\sqrt{3}$N．

点评 本题是力矩平衡问题与共点力的平衡的组合垫题目，对与力矩平衡类的题目，分析受力情况，正确找出力臂是解题的关键．