Question

如图所示，竖直平面内有一光滑圆弧轨道，其半径R=0.5m．一质量m=1.0kg的小球（可以看成质点）从离地高度h=1.0m的A点水平射出，恰能沿圆弧轨道上B点的切线方向进入轨道内侧，轨道半径OB与竖直线的夹角θ=53°．已知：sin53°=0.8，cos53°=0.6，g取10m/s²．试求：
（1）小球从A点到B点的时间t；小球从A点水平射出时的速度大小V；
（2）小球从射出点A到圆轨道入射点B之间的距离L；（结果可用根式表示）
（3）小球沿轨道通过圆弧的最高点D时对轨道的压力大小和方向．

Answer 1

【答案】分析：（1）恰能沿圆弧轨道上B点的切线方向进入轨道内侧，说明到到B点的速度v_B方向与水平方向的夹角为θ，这样可以求出初速度v；
（2）平抛运动水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，根据平抛运动的基本规律求出B点与A点的水平距离和竖直距离，并进行合成求出位移大小；
（3）根据机械能守恒定律求得D点速度，再运用牛顿第二定律和圆周运动知识求解．
解答：解：
（1）B点的高度 h_B=R（1-cos53°）=0.2m
A到B：h-h_B=，t=0.4s 
在B点的竖直速度 Vy=gt=4 m/s                                 
水平速度  V=Vycot53°=3m/s                               
（2）A到B的水平距离：x=Vt=1.2m                                  
A到B的距离：L==
（3）A到D过程中，由机械能守恒定律得：
V_D=V=3 m/s                                                  
小球重力 mg=10 N
在D点的向心力 F_A=
小球受到轨道的弹力F_D=F_A-mg=8 N  竖直向下                   
由牛顿第三定律可得，小球在D点时对轨道的压力为：
F_D′=F_D=8 N  竖直向上                                       
答：（1）小球从A点到B点的时间为0.4s；小球从A点水平射出时的速度大小为3m/s；
（2）小球从射出点A到圆轨道入射点B之间的距离L为；
（3）小球沿轨道通过圆弧的最高点D时对轨道的压力大小为8N和，方向竖直向上．
点评：恰能无碰撞地沿圆弧切线从B点进入光滑竖直圆弧轨道，这是解这道题的关键，理解了这句话就可以求得小球的末速度，本题很好的把平抛运动和圆周运动结合在一起运用机械能守恒解决，能够很好的考查学生的能力，是道好题．本题是平抛运动和圆周运动相结合的典型题目，除了运用平抛运动和圆周运动的基本公式外，求速度的问题，动能定理不失为一种好的方法．