Question

11．如图所示，一个半径为r的半圆形线圈，以直径ab为轴匀速转动，转速为n，ab的左侧有垂直于纸面向里（与ab垂直）的匀强磁场，磁感应强度为B，M和N是两个集流环，负载电阻为R，线圈、电流表和连接导线的电阻不计，求：
（1）感应电动势的最大值；
（2）从图示位置起转过$\frac{1}{4}$转的时间内负载电阻R上产生的热量；
（3）从图示位置起转过$\frac{1}{4}$转的时间内通过负载电阻R的电荷量；
（4）电流表的示数．

Answer 1

分析 （1）根据题意得出感应电动势的最大值，从而画出图象；
（2）根据△∅=B•△S求出从图示位置起转过$\frac{1}{4}$圈的时间内，穿过线框平面的磁通量的变化量，再根据q=平均电流×时间．
（3）电流表的示数由欧姆定律求得．

解答 解：（1）线圈绕轴匀速转动时，在电路中产生如图所示的交变电流．
此交变电动势的最大值为E_m=BSω=B•$\frac{{π{r^2}}}{2}$•2πn=π²Bnr²
（2）在转动$\frac{1}{4}$周期内导体一直切割磁感线，则产生的热量Q=$\frac{（\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}}）^{2}}{R}×\frac{T}{4}$=$\frac{{π}^{4}{B}^{2}n{r}^{4}}{8R}$
（3）在线圈从图示位置转过$\frac{1}{4}$转的时间内，电动势的平均值为$\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△t}$．
通过R的电荷量q=$\overline{I}$•△t=$\frac{\overline{E}}{R}$•△t=$\frac{△Φ}{R}$=$\frac{{πB{r^2}}}{2R}$
（4）设此交变电动势在一个周期内的有效值为E′，由有效值的定义得$\frac{{{{（\frac{E_m}{{\sqrt{2}}}）}^2}}}{R}•\frac{T}{2}=\frac{{{E^{'2}}}}{R}T$解得${E^'}=\frac{E_m}{2}$．
故电流表的示数为$I=\frac{E^'}{R}=\frac{{{π^2}{r^2}nB}}{2R}$
答：（1）感应电动势的最大值π²Bnr²
（2）从图示位置起转过$\frac{1}{4}$转的时间内通过负载电阻R的热量为$\frac{{π}^{4}{B}^{2}n{r}^{4}}{8R}$；
（3）从图示位置起转过$\frac{1}{4}$转的时间内通过负载电阻R的电荷量$\frac{{πB{r^2}}}{2R}$
（4）电流表的示数=$\frac{{π}^{2}{r}^{2}nB}{2R}$

点评 本题考查了法拉第电磁感应定律与闭合电路的欧姆定律的应用，掌握有效值与最大值的关系，求电量时要用平均电动势．