Question

如图所示，三个质量均为m的弹性小球用两根长均为L的轻绳连成一条直线而静止在光滑水平面上．现给中间的小球B一个水平初速度v₀，方向与绳垂直．小球相互碰撞时无机械能损失，轻绳不可伸长．求：
（1）当三个小球再次处在同一直线上时，小球B的速度．
（2）运动过程中小球A的最大动能E_KA和此时两根绳的夹角θ．
（3）当三个小球处在同一直线上时，绳中的拉力F的大小．

Answer 1

分析：（1）根据动量守恒定律和机械能守恒定律列式求解即可；
（2）当小球B速度减为零时，小球A和小球C动能最大，根据动量定律守恒定律和机械能守恒定律联立列式求解；
（3）当三个小球处在同一直线上时，小球B受力平衡，加速度为零，先根据动量定律守恒定律和机械能守恒定律联立列式求解出各个球的速度，再以B球为参考系，根据向心力公式列式求解．

解答：解：
（1）当三个小球再次处在同一直线上时，则由动量守恒定律和机械能守恒定律得：mv₀=mv_B+2mv_A

1

2

m

v

2 0

=

1

2

m

v

2 B

+

2m v 2 A

2

可解得

vB=- 1 3 v0，vA= 2 3 v0(三球再次处于同一直线)

vB=v0，vA=0(初始状态，舍去)

所以三球再次处于同一直线上时，小球B的速度为vB=-

1

3

v0（方向与原方向相反）
（2）小球A的动能最大时，小球B的动能为零即速度为零．此时小球A、C的速度大小为u，两根绳间的夹角为θ，则仍由动量守恒和机械能守恒定律得

mv0=2musin θ 2 1 2 m v 2 0 =2× 1 2 mu2 另外 EKA= 1 2 mu2

由此可能最大动能为E_KA=

1

4

mv₀²
此时两根绳间夹角为θ=90°
（3）球A、C均以半径L绕小球B做圆周运动，当三小球处在同一直线上时，以小球B为参考系，小球A（C）相对于小球B的速度均为
v_相对=|v_A-v_B|=v₀
所以绳中拉力为F=

mv2

L

=

m v 2 0

L

答：（1）当三个小球再次处在同一直线上时，小球B的速度为vB=-

1

3

v0（方向与原方向相反）．
（2）运动过程中小球A的最大动能为E_KA=

1

4

mv₀²此时两根绳间夹角为θ=90°．
（3）当三个小球处在同一直线上时，绳中的拉力F的大小为

m v 2 0

L

．

点评：本题关键要多次结合动量守恒定律和机械能守恒定律列式求解出各个球的速度，计算较为复杂，同时要结合已知的一些临界条件分析．