Question

18．火星（如图所示）是太阳系中与地球最为类似的行星，人类对火星生命的研究在今年因“火星表面存在流动的液态水”的发现而取得了重要进展．若火星可视为均匀球体，火星表面的重力加速度为g火星半径为R，火星自转周期为T，万有引力常量为G．求：
（1）火星的平均密度ρ．
（2）火星的同步卫星距火星表面的高度h．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力等于重力求出火星的质量，结合火星的体积求出火星的密度．
（2）根据万有引力提供向心力求出火星同步卫星的轨道半径，从而得出距离火星表面的高度．

解答 解：（1）在火星表面，对质量为m的物体有$mg=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$   ①
又M=$ρV=ρ•\frac{4}{3}π{R}^{3}$   ②
联立①②两式解得ρ=$\frac{3g}{4GπR}$．
（2）同步卫星的周期等于火星的自转周期T
万有引力提供向心力，有$G\frac{Mm′}{（R+h）^{2}}=m′\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（R+h）^{2}$   ③
联立解得h=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$．
答：（1）火星的平均密度ρ为$\frac{3g}{4GπR}$．
（2）火星的同步卫星距火星表面的高度h为$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力等于重力，2、万有引力提供向心力，并能灵活运用．