题目内容
据报道，北京首条磁悬浮列车运营线路已经完成前期准备工作，正待命开工。磁悬浮列车它的驱动系统可简化为如图12模型：固定在列车下端的动力绕组可视为一个矩形纯电阻金属框，电阻为R，金属框置于xOy平面内，长边MN长为l，平行于y轴，宽为d的NP边平行于x轴，如图甲所示。列车轨道沿Ox方向，轨道区域内存在垂直于金属框平面的磁场，磁感应强度B沿Ox方向按正弦规律分布，其空间周期为λ，最大值为B0，即B=B0sin（2π
），如图乙所示。金属框同一长边上各处的磁感应强度相同，整个磁场以速度v0沿Ox方向匀速平移。列车在驱动系统作用下沿Ox方向匀速行驶，速度为v(v<v0)。列车所受总阻力虽然很小但不能忽略。设在短暂时间内，MN、PQ边所在位置的磁感应强度随时间的变化可以忽略。
（1）可以证明，当线框宽度d=λ/2时，列车可以获得最大驱动力，求驱动力的最大值；
（2）由于列车与磁场的相对运动，驱动力大小在随时间变化。写出驱动力大小随时间的变化关系式；
（3）为了列车平稳运行，设计方案是在此线框前方合适位置再加一组与线框MNPQ同样的线框M'N'P'Q'，两线框间距离满足一定条件时，列车可以获得恒定的驱动力。求恒定驱动力大小及在两线框不重叠的情况下两组线框的MN与M'N'边的最小距离。
参考答案：
（1）为使列车获得最大驱动力，MN、PQ应位于磁场中磁感应强度同为最大值且反向的位置，这会使得金属框中感应电动势最大，电流最强，也会使得金属框长边受到的安培力最大。此时线框中总的感应电动势为Em=2B0l（v0-v）
相应的，根据闭合电路欧姆定律Im=
设此时现况MN边受到的安培力为Fm，根据安培力公式F=BIl
最大驱动力Fm =2B0Iml
Fm=
（2）从MN边在x=0处开始计时，MN边到达x坐标处，磁场向右移动了v0t
设此时线框中总的感应电动势为e，则
e= 2B0 l（v0-v）sin（2π
）
相应的，感应电流为i=
（v0-v）sin（2π）
驱动力：F= 
（v0-v）sin2（2π）
（3）为了使驱动力不随时间变化，即需要消除牵引力表达式中随时间变化部分，此时只需线框M'N'P'Q'所受力满足F'=（v0-v）cos2（2π）
从而使得F总=（v0-v）sin2（2π）+（v0-v）cos2（2π）
F总=（v0-v）不随时间变化
即MN边受力最大时，M'N'受力最小，而MN边受力最小时，M'N'受力最大，即M'N'边与MN边最少相距3λ/4
