Question

10．如图，小球a、b质量均为m，b球用长h的细绳（承受最大拉力为2.8mg）悬挂于水平轨道BC（距地高0.5h）的出口C处．a球从距BC高h的A处由静止释放后，沿ABC光滑轨道滑下，在C处与b球正碰并与b粘在一起．ED是放在水平地面上长为3R的垫子，试问：

（1）a与b球碰后瞬间的速度大小？
（2）a、b两球碰后，细绳是否会断裂？
（3）小球a、b两球碰后，绳子断裂，欲使小球能通过C点落到垫子外，小球在A点下滑高度H 至少是多少？

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求出a球与b球碰撞前的速度，结合动量守恒定律求出碰后的速度大小．
（2）根据牛顿第二定律求出细绳的拉力，判断细绳是否会断裂．
（3）根据平抛运动的高度得出平抛运动的时间，结合水平位移和时间求出平抛运动的初速度，结合动量守恒和动能定理求出小球从A点下落的最小高度．

解答 解：（1）根据动能定理知，$mgh=\frac{1}{2}m{{v}_{a}}^{2}$，解得a球与b球碰撞前的速度为：${v}_{a}=\sqrt{2gh}$，
规定向左为正方向，根据动量守恒定律得，mv_a=2mv，解得a与b碰后瞬间的速度大小为：v=$\frac{{v}_{a}}{2}=\frac{\sqrt{2gh}}{2}$．
（2）根据牛顿第二定律得：$T-2mg=2m\frac{{v}^{2}}{h}$，解得：T=3mg＞2.8mg，可知细绳断裂．
（3）根据0.5h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得：t=$\sqrt{\frac{h}{g}}$，
则落在垫子外平抛运动的最小初速度为：${v}_{0}=\frac{3R}{t}=3R\sqrt{\frac{g}{h}}$，
根据动能定理得：$mgH=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
根据动量守恒得，mv=2mv₀，
解得：H=$\frac{18{R}^{2}}{h}$．
答：（1）a与b球碰后瞬间的速度大小为$\frac{\sqrt{2gh}}{2}$；
（2）细绳会断裂；
（3）小球在A点下滑高度H 至少是$\frac{18{R}^{2}}{h}$．

点评 本题考查了平抛运动、圆周运动与动量守恒定律、动能定理、牛顿第二定律的综合，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，以及圆周运动向心力的来源是解决本题的关键．