Question

16．太阳系以外存在着许多恒星与行星组成的双星系统．它们运行的原理可以理解为：质量为M的恒星和质量为m的行星（M＞m），在它们之间的万有引力作用下有规则地运动着．如图所示，我们可认为行星在以某一定点C为中心、半径为a的圆周上做匀速圆周运动（图中没有表示出恒星）．设万有引力常量为G，恒星和行星的大小可忽略不计．
（1）求恒星与C点间的距离．
（2）计算恒星的运行速率．

Answer 1

分析 （1）恒星与行星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，相互之间的万有引力提供各自的向心力，而且两颗恒星有相同的角速度和周期．根据牛顿第二定律分别对两星进行列式，来求解．
（2）根据万有引力等于向心力，由牛顿第二定律列式求解恒星的运行速率v．

解答 解：（1）恒星和行星做圆周运动的角速度、向心力的大小均相同，则
对行星m，F=mω²R_m…①
对恒星M，F′=Mω²R_M…②
可得R_M=$\frac{m}{M}$a                         
（2）恒星运动的轨道和位置大致如图，对恒星M有

根据万有引力提供向心力，
$\frac{GMm}{{（a{+R}_{M}）}^{2}}$=M$\frac{{v}^{2}}{{R}_{M}}$                    
解得v=$\frac{m}{m+M}$$\sqrt{\frac{GM}{a}}$                    
答：（1）恒星与C点间的距离是$\frac{m}{M}$a．
（2）恒星的运行速率是$\frac{m}{m+M}$$\sqrt{\frac{GM}{a}}$．

点评 本题是双星问题，关键抓住两点：一是双星由相互间的万有引力提供向心力；双星的条件是：角速度或周期相等．