Question

2．如图所示，在半径为R的圆形边界内存在竖直向上的匀强电场，电场强度E=1×10⁶T，以圆心为坐标原点建立直角坐标系，在坐标原点分别以竖直向上、竖直向下、水平向左、水平向右同时抛出四个带正电的小球，小球的电荷量q=8×10^-12C，质量m=1×10^-6kg，它们的初速度大小均为v₀=4m/s，忽略空气阻力，重力加速度g=10m/s²，则：
（1）当R=$\sqrt{17}$m时，水平向右抛出的小球经过多少时间到达圆形边界？
（2）试证明：在四个小球都未到达圆形边界前，能用一个圆将四个小球连起来，并写出圆心的坐标．

Answer 1

分析 （1）首先分析四个带电小球的受力情况，求出四种情况的加速度，据此求水平向右抛出小球到达圆形边界，利用平抛运动的知识即可求解．（2）由于四种情况的加速度大小相同，利用平抛运动和匀变速直线运动，（匀变速直线运动可以分解为匀速直线运动和初速度为零的匀变速直线运动），据此分析处在四个小球都未到达圆形边界前，能用一个圆将四个小球连起来，并写出圆心的坐标．

解答 解：（1）由于四个小球相同，都受到重力和电场力，所以加速度相同，据牛顿第二定律得：
a=$\frac{2×1{0}^{-6}}{1×1{0}^{-6}}$m/s²=2m/s²
水平向右抛出的小球经过多少时间到达圆形边界，据平抛运动可知，
x=v₀t=4t
y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=t²
据几何关系可知：x²+y²=17
联立以上解得：t=1s
（2）先分析水平向左和向右平抛的小球，由于初速度和加速度相同，据平抛运动可知，两球水平位移和竖直位移相同，即两种情况的规律关于y轴对称．
再以竖直向下运动的小球，可以视为向下的匀速直线运动和初速度为零的匀加速直线运动，所以竖直方向的位移为匀速的位移和匀加速的位移之和；即此种情况的位移比水平抛的位移多：△x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=t²
再以竖直向上运动的小球，可以视为向上的匀速直线运动和初速度为零的匀减速直线运动，所以竖直方向的位移为匀速的位移和匀减速的位移之差．即此种情况的位移比水平抛的位移少：△x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=t²
综上可知，两球水平位移和竖直位移相同，即两种情况的规律关于y轴对称；且竖直方向抛出球的轨迹关于坐标（0，t²）对称，所以在四个小球都未到达圆形边界前，能用一个圆将四个小球连起来，且圆心的坐标为（0，t²），t为小球运动的时间．
答：（1）当R=$\sqrt{17}$m时，水平向右抛出的小球经过1s时间到达圆形边界．
（2）在四个小球都未到达圆形边界前，能用一个圆将四个小球连起来，圆心的坐标（0，t²）．

点评 此题是典型的抛体运动，灵活利用平抛运动的处理方法是解题的关键，还需灵活应用几何关系；第二问此题看似较难，巧利用运动的分解和水平抛出关于y轴对称，此问题迎刃而解．