Question

13．在某星球表面上以速度v₀竖直上抛一物体，经时间t回到抛出点，已知该星球的半径为R，引力常量为G．求：
（1）该星球的质量；
（2）围绕该星球做圆周运动的卫星的最小周期T．

Answer 1

分析 （1）运用竖直上抛运动规律求出星球表面重力加速度．忽略星球自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式求解星球的质量M．
（2）卫星围绕该星球做匀速圆周运动，根据向心力公式求解周期．

解答 解：（1）竖直上抛落回原点的速度大小等于初速度，方向与初速度相反．设星球表面的重力加速度为g，由竖直上抛规律可得：
v₀=-v₀+gt
解得：g=$\frac{2{v}_{0}}{t}$
在星球表面的物体受到的重力等于万有引力，有：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg
得：M=$\frac{2{v}_{0}{R}^{2}}{Gt}$
（2）卫星围绕该星球做匀速圆周运动，根据向心力公式得：
$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$
解得：T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$
当r=R时，周期最小，则最小为${T}_{min}=\sqrt{\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{GM}}=\sqrt{\frac{4{π}^{2}Rt}{2{v}_{0}}}$
答：（1）该星球的质量为$\frac{2{v}_{0}{R}^{2}}{Gt}$；
（2）围绕该星球做圆周运动的卫星的最小周期T为$\sqrt{\frac{4{π}^{2}Rt}{2{v}_{0}}}$．

点评 重力加速度g是天体运动研究和天体表面宏观物体运动研究联系的物理量．本题要求学生掌握两种等式：一是物体所受重力等于其吸引力；二是物体做匀速圆周运动其向心力由引力提供．