Question

如图所示，劲度系数为k=40.0N/m的轻质水平弹簧左端固定在壁上，右端系一质量M=3.0kg的小物块A，A的右边系一轻细线，细线绕过轻质光滑的滑轮后与轻挂钩相连，小物块A放在足够长的桌面上，它与桌面的滑动摩擦因数为0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．滑轮以左的轻绳处于水平静止状态，弹簧的长度为自然长度．现将一质量m=2.0kg的物体B轻挂在钩上，然后松手，在此后的整个运动过程中，求：
（1）小物块A速度达到最大时的位置；
（2）弹簧弹性势能的最大值；
（3）小物块A克服摩擦力所做的功．

Answer 1

分析：A的加速度等于零时，A的速度达到最大，根据牛顿第二定律，求出此时位置；通过比较mg、μMg，判断出系统向右的运动是以x=x′为平衡位置的简谐运动，得到A向右运动的距离，利用能量守恒可得弹簧弹性势能；求出A知道最终静止下来的路程，根据W=μMgs可求摩擦力所做的总功．

解答：解：（1）对AB系统，mg＞μMg，故A向右运动，
根据牛顿第二定律：mg-μMg-kx=（M+m）a
当a=0时，A的速度达到最大，此时A的坐标x′=

mg-μMg

k

代入数据，解得：x′=0.35m
（2）由于mg、μMg均为恒力，弹力为线性回复力，所以系统向右的运动是以x=x′
为平衡位置的简谐运动，从A开始向右运动到系统速度为零，A向右运动的距离为：2x′=0.7m
由能量守恒，得：mg×2x′-μMg×2x′=E_弹
代入数据，得：E_弹=9.8J
（3）由于2kx′-mg＞μMg，A开始向左加速运动
根据牛顿第二定律：kx-mg-μMg=（M+m）a
设向左运动A的平衡位置为x₂
kx₂-mg-μMg=0
得：x₂=

mg+μMg

k

解得：x₂=0.65m
当AB两物体组成的系统向左运动到速度为零的位置，A的坐标为x₃
x₃=x₂-（2x′-x₂）=0.6m
此时kx₃-mg＜μMg，所以A静止在x₃处，整个过程A的路程为：s=2x₁+2（2x₁-x₂）=0.8m
故克服摩擦力所做的总功为W=μMgs
解得：W=4.8J
答：（1）小物块A速度达到最大时的位置为0.35m；（2）弹簧弹性势能的最大值为9.8J；（3）小物块A克服摩擦力所做的功为4.8J．

点评：解答本题要知道A的加速度等于零时，A速度达到最大，能根据牛顿第二定律以及能量守恒列式解题，A运动过程分析是关键，有一定的难度．