Question

如图所示，在水平地面上有一段光滑圆弧形槽，弧的半径是R，所对圆心角小于10°，现在圆弧的右侧边缘M处放一个小球A，使其由静止下滑，则
（1）若在MN圆弧上存在两点P、Q，且P、Q关于O对称，且已测得球A由P直达Q所需时间为△t，则球由Q至N的最短时间为多少？
（2）若在圆弧的最低点O的正上方h处由静止释放小球B，让其自由下落，同时A球从圆弧右侧由静止释放，欲使A、B两球在圆弧最低点O处相遇，则B球下落的高度h是多少？

Answer 1

分析：（1）由题，光滑圆弧形槽弧的半径是R，所对圆心角小于10°，小球A在PQ两点间做简谐运动，类似于摆长为R的单摆，小球A从N到O的时间为

T

4

，从Q到O的时间为

△t

2

．
（2）根据高度求出B球下落的时间表达式．根据周期性得出时间与小球A周期的关系，再求解B球下落的高度h．

解答：解：（1）A做简谐运动
    T=2π

R g

则球由Q至N的最短时间
t_min=

T

4

-

△t

2

=

π

2

R g

-

△t

2

（2）B做自由落体下落的高度h
   h=

1

2

gt2
若两球能够相遇则有
 t=

n

2

T+

T

4

得：h=

1

2

(n+

1

2

)2R    （n=1，2，3，4…） 
答：
（1）球由Q至N的最短时间为

π

2

R g

-

△t

2

．
（2）B球下落的高度h=

1

2

(n+

1

2

)2R    （n=1，2，3，4…）

点评：光滑圆弧形槽所对圆心角小于10°时类似单摆，做简谐运动，等效摆长等于半径，具有周期性，第（2）不要当特殊值去求．