Question

14．2014年4月，朝鲜为了应对美韩联合军演，向朝韩边境线上发射多种型号的远程导弹．假定导弹可简化为如下模型，如图所示，从地面上A点发射一枚远程弹道导弹，假设导弹仅在地球引力作用下，沿ACB椭圆轨道飞行击中地面目标B，C为轨道的远地点，距地面高度为h．已知地球半径为R，地球质量为M，万有引力常量为G，则下列结论正确的是（　　）

• A． 导弹在A点与地面成30度角发射射程最远
• B． 导弹在C点的速度等于$\root{3}{\frac{GM}{R+h}}$
• C． 导弹在C点的加速度等于$\frac{GM}{（R+h）^{2}}$
• D． 导弹在A点的发射速度大于7﹒9km/s会击中美国本土

Answer 1

分析 距地面高度为h的圆轨道上卫星的速度，根据牛顿第二定律得到其运动速度．C为轨道的远地点，导弹在C点的速度小于$\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$．由牛顿第二定律求解导弹在C点的加速度．

解答 解：A、若在A点的发射速度大小一定，设速度为v，与水平方向之间的夹角是θ，则导弹在空中的飞行时间：
$t=\frac{2vsinθ}{g}$
导弹的飞行距离：$x=vcosθ•t=\frac{2{v}^{2}sinθcosθ}{g}=\frac{{v}^{2}sin2θ}{g}$，可知，当导弹在A点与地面成45度角发射射程最远
，故A错误．
B、设距地面高度为h的圆轨道上卫星的速度为v，则由牛顿第二定律有：$G\frac{Mm}{{（R+h）}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R+h}$得：v=$\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$．导弹在C点只有加速才能进入卫星的轨道，所以导弹在C点的速度小于$\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$．故B错误．
C、导弹在C点，由牛顿第二定律有：$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=ma$，得加速度为：a=$\frac{GM}{（{R+h）}^{2}}$，故C正确．
D、导弹在A点的发射速度大于7﹒9km/s会绕地球沿椭圆轨道运动，不会击中美国本土，故D错误．
故选：C．

点评 本题运用牛顿第二定律、万有引力定律分析导弹与卫星运动问题．比较C在点的速度大小，可以结合卫星变轨知识来理解．