Question

15．美国宇航局（NASA）在官网上公布了一张“好奇号”火星车于2016年1月19日传回的一张“自拍照”，在照片中，“好奇号”身处沙丘，边缘还有裸露的岩层．若“好奇”号登陆火星后，在火星的表面某处以速度v₀竖直向上抛出一个小球．经过t时间小球落回了抛出点．已知火星的半径R，引力常量G，“好奇”号绕火星运动的周期T，且把“好奇”号绕火星的运动看做是匀速圆周运动，试求：
（1）火星的质量M及密度ρ．
（2）“好奇”号绕火星运行的轨道半径r．

Answer 1

分析 （1）根据竖直上抛运动的规律，求出火星表面的重力加速度，根据火星表面的物体重力等于万有引力，即可求出火星的质量M，由密度公式求出火星的密度；
（2）根据万有引力提供向心力，即可求出“好奇”号绕火星运行的轨道半径r

解答 解：（1）根据竖直上抛运动的规律：$g=\frac{{v}_{0}^{\;}}{\frac{t}{2}}=\frac{2{v}_{0}^{\;}}{t}$
根据火星表面物体重力等于万有引力，有：$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
火星的质量为：$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$=$\frac{2{v}_{0}^{\;}{R}_{\;}^{2}}{Gt}$
密度有：$ρ=\frac{M}{V}=\frac{2{v}_{0}^{\;}{R}_{\;}^{2}}{Gt}×\frac{3}{4π{R}_{\;}^{3}}$=$\frac{3{v}_{0}}{2πGtR}$
（2）根据万有引力定律提供向心力，得：$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$
解得：$r=\root{3}{\frac{GM{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}=\root{3}{\frac{2{v}_{0}^{\;}{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}t}}$
答：（1）火星的质量M为$\frac{2{v}_{0}^{\;}{R}_{\;}^{2}}{Gt}$及密度ρ为$\frac{3{v}_{0}}{2πGtR}$．
（2）“好奇”号绕火星运行的轨道半径r为$\root{3}{\frac{2{v}_{0}^{\;}{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}t}}$．

点评 本题关键是明确探测器的向心力来源，根据牛顿第二定律列式求解，同时要注意在火星表面，重力等于万有引力，基础题目