Question

某兴趣小组设计了一种实验装置，用来研究碰撞问题，其模型如图所示.用完全相同的轻绳将N个大小相同、质量不等的小球并列悬挂于一水平杆，球间有微小间隔，从左到右，球的编号依次为1，2，3…N，球的质量依次递减，每球质量与其相邻左球质量之比为k(k＜1).将1号球向左拉起，然后由静止释放，使其与2号球碰撞，2号球再与3号球碰撞…所有碰撞皆为无机械能损失的正碰.(不计空气阻力，忽略绳的伸长，g取10m／s²)

(1)设与n+1号球碰撞前，n号球的速度为v_n，求n+1号球碰撞后的速度.

(2)若N＝5，在1号球向左拉高^的情况下，要使5号球碰撞后升高16h(16h小于绳长)，问k值为多少?

Answer 1

解：(1)设n号球质量为m_n，n+1号球质量为m_n+1，碰撞后的速度分别为v′_n、v′_n+1，取水平向右为正方向，据题意有”号球与n+1号球碰撞前的速度分别为v_n，0，m_n+1＝km_n

根据动量守恒，有m_nv_n＝m_nv′_n+km_nv′_n+1    ①

根据机械能守恒，有m_n+km_n    ②

由①，②得v′_n+1＝(v′_n+1＝0舍去)

设n+1号球与n+2号球碰前的速度为v_n+1

据题意有v_n+1＝v′_n+1  得V_n+1＝v′_n+1＝    ③

(2)设1号球摆至最低点时的速度为v₁，由机械能

守恒定律有m₁gh＝m₁    ④v₁＝    ⑤

同理可求，5号球碰后瞬间的速度v₅＝    ⑥

由(3)式得v_n+1＝    ⑦

N=n+1＝5时，v₅＝    ⑧

由⑤，⑥，⑧三式得⑨

k=-1≈0.414(k=-1舍去)

(3)设绳长为l，每个球在最低点时，细绳对球的拉力为F，由牛顿第二定律有

F-m_ng＝⑩则F＝m_ng+m_n=m_ng+2=m_ng+E_kn   

式中E_kn为n号球在最低点的动能由题意1号球的重力最大，又由机械能守恒可知1号球在最低点碰前的动能也最大，根据式可判断在1号球碰前瞬间悬挂1号球细绳的张力最大，故悬挂1号球的绳最容易断.