Question

4．如图所示，在第Ⅱ象限内有水平向右的匀强电场，在第Ⅰ象限和第Ⅳ象限的圆形区域内分别存在如图所示的匀强磁场，在第Ⅳ象限磁感应强度大小是第Ⅰ象限的2倍．圆形区域与x轴相切于Q点，Q到O点的距离为L．有一个带电粒子质量为m，电量为q，以垂直于x轴的初速度从x轴上的P点进入匀强电场中，并且恰好与y轴的正方向成60°角以速度v进入第Ⅰ象限，又恰好垂直于x轴在Q点进入圆形区域磁场，射出圆形区域磁场后与x轴正向成30°角再次进入第Ⅰ象限．不计重力．求：
（1）第Ⅰ象限内磁场磁感应强度B的大小；
（2）电场强度E的大小；
（3）粒子在圆形区域磁场中的运动时间．

Answer 1

分析 （1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据题意画出粒子的运动轨迹，由几何知识求粒子的轨迹半径，再根据洛伦兹力提供向心力，求第Ⅰ象限内磁场磁感应强度B的大小；
（2）带电粒子在电场中做类平抛运动，由几何知识求y轴的分位移，由分运动的规律和牛顿第二定律结合求电场强度E的大小；
（3）根据时间与周期的关系求粒子在圆形区域磁场中的运动时间．

解答 解：（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，轨迹如图所示．设粒子在第Ⅰ象限内的轨迹半径为R₁．由几何关系有：
R₁+$\frac{{R}_{1}}{2}$=L
得：R₁=$\frac{2}{3}$L
结合qvB=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$得：
B=$\frac{3mv}{2qL}$
（2）带电粒子在电场中做类平抛运动，由几何关系有：
y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$L
v₀=vcos60°=$\frac{v}{2}$
粒子刚出电场时，v_x=vsin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$v
粒子在电场中运动时间为：
t=$\frac{y}{{v}_{0}}$
v_x=at，
a=$\frac{qE}{m}$
可得：E=$\frac{3m{v}^{2}}{4qL}$
（3）由几何关系知，粒子在圆形磁场中运动的时间 t′=$\frac{T}{3}$
而 T=$\frac{2πR}{v}$=$\frac{2πm}{q•2B}$
结合 B=$\frac{3mv}{2qL}$，得 t′=$\frac{2πL}{9v}$
答：（1）第Ⅰ象限内磁场磁感应强度B的大小是$\frac{3mv}{2qL}$；
（2）电场强度E的大小是$\frac{3m{v}^{2}}{4qL}$；
（3）粒子在圆形区域磁场中的运动时间是$\frac{2πL}{9v}$．

点评 本题关键是明确粒子先做类似平抛运动，后做匀速圆周运动，根据类似平抛运动的分速度关系求解末速度大小和方向；在磁场中关键是画出轨迹，结合几何关系分析运动时间．