Question

高h=5m的平台上有一个质量m=1kg的小球以初速度v₀沿水平方向抛出，另一侧是一个截面为抛物线的坡面．如图所示，若以平台右侧底端的O点为原点建立坐标系Oxy，坡面的方程为y=

1

5

x²（单位：m），取g=10m/s²
（1）若小球的初速度v₀=

2

m/s，求小球从抛出到落到坡面的时间；
（2）若要使小球落到坡面的动能最小，则v₀应为多少．

Answer 1

分析：（1）小球做平抛运动，由平抛运动规律求出其水平与竖直位移，然后根据坡面方程求出小球的运动时间；
（2）由动能定理求出小球落地是的动能表达式，然后求出小球动能最小时的初速度．

解答：解：（1）小球做平抛运动，
水平方向：x=v₀t    ①，
竖直方向：H=

1

2

gt²  ②，
根据几何关系有：y=h-H
坡面的方程为：y=

1

5

x²，
即：h-

1

2

gt²=

1

5

x²   ③
由①②③可解得：y=

2h v 2 0

5g+2 v 2 0

  ④，
小球的运动时间：
t=

10h 2 v 2 0 +5g

=

10×5 2×( 2 )2+5×10

=

5 3

9

s；
（2）由动能定理得：mgy=

1

2

mv²-

1

2

mv₀² ⑤，
由④⑤解得，末动能：E_K=

1

2

mv²=

2mgh v 2 0

5g+2 v 2 0

+

1

2

mv₀²，
设v₀²=ng，则E_K=mg（

10n

5+2n

+

1

2

n），当n=7.5，
即v₀²=ng=7.5×10=75，v₀=5

3

m/s时，小球的动能最小；
答：（1）若小球的初速度v₀=

2

m/s，小球从抛出到落到坡面的时间为

5 3

9

s；
（2）若要使小球落到坡面的动能最小，则v₀应为5

3

m/s．

点评：本题主要考查平抛运动和动能定理的应用，以及函数最值的计算，意在考查考生的综合分析及数学计算能力．