Question

在光滑绝缘的水平面上方，有一足够大的空间，此空间同时存在电场强度为E、方向水平向右的匀强电场和磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场．在水平面上沿电场线方向放有两个静止的小球A和B（均可看成质点），两小球的质量均为m，A球带电荷量+q，B球不带电，开始时两球相距L．现释放两球，A球开始运动，当A、B碰撞时（碰撞时间可忽略），A、B两球的总动能无损失，且A、B两球间无电荷转移．不考虑空气阻力，求：
（1）如果 A球与B球能够发生碰撞，从释放两球至两球发生第一次碰撞需要多长时间？第一次碰撞后A、B两球的速度各为多大？
（2）设q=2×10^-5C，E=1×10⁴N/C，m=0.1kg，B=50T，L=1cm，取g=10m/s²，各次碰撞时相邻两次碰撞的时间间隔分别是多少？A、B两球最多能相碰几次？

Answer 1

分析：（1）当两球能够发生第一次碰撞时，A球没有离开水平面，沿水平方向只受电场力的作用，做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律和运动学公式列出等式，
根据动量守恒定律和能量守恒定律求解
（2）由于碰撞中动量守恒，总动能不损失，列车等式．分析每一次碰撞后的运动情况，运用运动学公式求解．

解答：解：（1）当两球能够发生第一次碰撞时，A球没有离开水平面，沿水平方向只受电场力的作用，做匀加速直线运动，且满足
a=

qE

m

，L=

1

2

at2      

v

2 A

=2

qE

m

L
联立以上各式得：t=

2mL qE

．
 vA=

2qEL m

即经过时间t=

2mL qE

．两球发生第一次碰撞．
A球与B球第一次碰撞时，动量守恒，则mv_A=mv′_A+mv′_B
根据题意，总能量不损失，则

1

2

m

v

2 A

=

1

2

mv′

2 A

+

1

2

mv′

2 B

联立解得

v

/ A

=0，

v

/ B

=vA=

2qEL m

（2）设v0=vA=

2qEL m

，t0=t=

2mL qE

，a=

qE

m

代入数值求得v₀=0.2m/s    t₀=0.1s     a=2m/s²         
设每次碰撞前，A、B的速度分别为v₁、v₂，碰撞后分别为

v

/ 1

、

v

/ 2

，由于碰撞中动量守恒，总动能不损失，所以：

mv1+mv2=m v / 1 +m v / 2 1 2 mv12+ 1 2 mv22= 1 2 mv′ 2 1 + 1 2 mv′ 2 2

解得 

v

/ 1

=v2

v

/ 2

=v1
即碰撞后两球总是交换速度．
由上一问可知，第一次碰后A球速度为0，此后作匀加速直线运动；B球作速度为v₀的匀速直线运动．
设第二次碰撞前A球速度为v_A2，所用时间为△t₂，则

1

2

a(△t2)2=v0△t2
v_A2=a△t₂
解得v_A2=2v₀
△t₂=2t₀
碰撞后，交换速度，A的速度变为v₀，B的速度变为2v₀
设第三次碰撞前A球速度为v_A3，所用时间为△t₃，则

v0△t3+ 1 2 a(△t3)2=2v0△t3 vA3=v0+a△t3

解得v_A3=3v₀
△t₃=2t₀
再次碰撞后，交换速度，A的速度变为2v₀，B的速度变为3v₀
同理可证，第一次碰撞后的过程中，A、B每次碰撞前的加速过程（即相邻两次碰撞的间隔），时间均相等，为
2t=0.2s    
同时可得，A球加速n次后的速度为nv₀．碰后速度为（n-1）v₀．每一次碰后至下一次碰前速度增加2v₀
设加速n次后A球刚要离开地面，则
nqv₀B=mg                              
代值解得          
n=5×10³
即最多碰5000次．
答：（1）如果A球与B球能够发生碰撞，从释放两球至两球发生第一次碰撞需要t=

2mL qE

，第一次碰撞后A、B两球的速度各为

v

/ A

=0，

v

/ B

=vA=

2qEL m

．
（2）各次碰撞时相邻两次碰撞的时间间隔分别是0.1s和0.2s．A、B两球最多能相碰5000次．

点评：本题考查的知识点较多，需要掌握动量守恒定律和能量守恒定律的应用，能运用牛顿第二定律和运动学公式求解问题．