Question

2．如图所示，光滑水平桌面上固定两平行导轨CD、EF，“?”形薄导轨槽与平行导轨之间的接触部分是粗糙的，图为俯视图，两导轨足够长．一个木质滑块（阴影部分）放置在“?”形槽内，滑块左侧面和“?”形槽的左半部均是半径为r的半圆柱形，滑块可在“?”形槽的内侧无摩擦的滑动．现有一可视为质点的金属小球以水平初速度v冲向静止的滑块，从滑块的一侧半圆形槽口边缘进入，从另一侧飞出后进入静止的“?”槽内，“?”槽没有发生滑动．已知金属小球的质量为m，木质滑块的质量为km，k＞l．求：
（1）当金属小球第一次经过木质滑块上的半圆柱形凹槽的最右端A点时，滑块的速度大小；
（2）当金属小球第一次经过“?”形槽最左端B点时，“?”形槽与平行导轨间的摩擦力大小；
（3）若k=9，则滑块最终的速度大小．

Answer 1

分析 （1）到达A点，两物体水平方向动量守恒且水平速度相等，根据动量守恒定律列式即可求解；
（2）球与滑块从接触到分离的过程中动量守恒，机械能也守恒，根据动量守恒定律和机械能守恒定律求出小球速度，此后球以速度v₂进入左侧半圆轨道，做匀速圆周运动，在B端由摩擦力提供向心力，根据向心力公式列式求解；
（3）将k=9带入上一问可以求出小球和滑块的速度，此后根据动量守恒定律和机械能守恒定律求解即可．

解答 解：（1）到达A点，两物体水平方向动量守恒且水平速度相等，根据动量守恒定律得：
mv=（m+km）v_共
解得：${v}_{共}=\frac{v}{1+k}$
（2）球与滑块从接触到分离，根据动量守恒定律得：mv=mv₁+kmv₂①
根据机械能守恒定律得$\frac{1}{2}m{v}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}km{{v}_{2}}^{2}$②，
此后球以速度v₂进入左侧半圆轨道，做匀速圆周运动，显然到达B点对“?”形槽水平方向作用力最大，f=$m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{r}$③
由①②③得：f=$\frac{m{v}^{2}（k-1）^{2}}{r（k+1）^{2}}$
（3）k=9带入①②得速度大小：小球${v}_{1}=\frac{4}{5}v$，滑块${v}_{2}=\frac{1}{5}v$，
此后根据动量守恒定律得：mv₁+kmv₂=mv₃+kmv₄④
根据机械能守恒定律得$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}km{{v}_{2}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{3}}^{2}+\frac{1}{2}km{{v}_{4}}^{2}$⑤
k=9带入④⑤得速度大小：${v}_{3}=\frac{7}{25}v$，${v}_{4}=\frac{8}{25}v$
则小球的速度小于滑块的速度，所以滑块最终的速度大小为${v}_{4}=\frac{8}{25}v$．
答：（1）当金属小球第一次经过木质滑块上的半圆柱形凹槽的最右端A点时，滑块的速度大小为$\frac{v}{1+k}$；
（2）当金属小球第一次经过“?”形槽最左端B点时，“?”形槽与平行导轨间的摩擦力大小为$\frac{m{v}^{2}{（k-1）}^{2}}{r{（k+1）}^{2}}$；
（3）若k=9，则滑块最终的速度大小为$\frac{8}{25}v$．

点评 本题考查了求速度问题，分析清楚运动过程，应用动量守恒定律与机械能守恒定律即可正确解题，难度适中．