Question

（2010?南京模拟）如图所示，圆管构成的半圆形竖直轨道固定在水平地面上，轨道半径为R，MN为直径且与水平面垂直，直径略小于圆管内径的小球A以某一初速度冲进轨道，到达半圆轨道最高点M后飞出轨道，落地点到N点的距离为4R．忽略圆管内径，不计空气阻力及各处摩擦，已知重力加速度为g．求：
（1）小球从飞出轨道到落地的时间t．
（2）小球从M点飞出时的速度大小v．
（3）小球在轨道最低点N时对轨道的压力F．

Answer 1

分析：（1）小球飞出轨道后做平抛运动，根据平抛运动的竖直分位移公式列式求解即可；
（2）小球飞出轨道后做平抛运动，再根据平抛运动的水平分位移公式列式求解；
（3）先根据机械能守恒定律求出小球经过N点的速度，再对小球在N点运用牛顿第二定律和向心力公式列式求解．

解答：解：（1）小球飞出轨道后做平抛运动，竖直方向分运动为自由落体运动，有：
2R=

1

2

gt2
解得
t=

4R g

即小球从飞出轨道到落地的时间t等于

4R g

．
（2）小球飞出轨道后做平抛运动，水平方向分运动为匀速直线运动，有
4R=vt
解得
v=

4R

t

=2

gR

即小球从M点飞出时的速度大小v等于2

gR

．
（3）小球从N到M过程机械能守恒，由机械能守恒定律知：

1

2

m

v

2 N

=mg(2R)+

1

2

m

v

2 M

解得

v

N

=

v 2 M +4gR

=2

2gR

在N点，重力和支持力的合力提供小球做圆周运动的向心力，有
N-mg=m

v 2 N

R

解得
N=9mg
故小球在轨道最低点N时对轨道的压力F等于9mg．

点评：本题关键要分析小球的运动情况，然后分阶段运用平抛运动的分位移公式、机械能守恒定律和向心力公式列式求解．