Question

随着我国登月计划的实施，我国宇航员登上月球已不是梦想．假如我国宇员登上月球并在月球表面附近以初速度v₀竖直向上抛出一个小球，经时间t后回到出发点．已知月球的半径为R．万有引力常量为G．求：
（1）月球的质量；            
（2）宇航员离开月球表面返回飞船至少应获得的速度；
（3）宇航员乘坐飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的绕行周期．

Answer 1

分析：（1）小球在月球表面做竖直上抛运动，由t=

2v0

g月

求出月球表面的重力加速度，物体在月球表面上时，由重力等于地月球的万有引力求出月球的质量．
（2）宇航员离开月球表面返回飞船至少应获得的速度大小即月球的第一宇宙速度大小．
（3）宇航员乘坐飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动，根据重力提供向心力求得绕行周期．

解答：解：（1）小球在月球表面做竖直上抛运动，
根据匀变速运动规律得：t=

2v0

g月

解得：g_月=

2v0

t

物体在月球表面上时，由重力等于地月球的万有引力得：

Gm月m

R2

=mg_月
m_月=

2v0R2

Gt

（2）宇航员离开月球表面返回飞船至少应获得的速度大小即月球的第一宇宙速度，
所以

Gm月m

R2

=

mv2

R

v=

2Rv0 t

（3）宇航员乘坐飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动，根据重力提供向心力得：
mg_月=

m?4π2R

T2

=m

2v0

t

T=π

2Rt v0

答：（1）月球的质量是

2v0R2

Gt

；            
（2）宇航员离开月球表面返回飞船至少应获得的速度是

2Rv0 t

；
（3）宇航员乘坐飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的绕行周期是π

2Rt v0

．

点评：本题是卫星类型的问题，常常建立这样的模型：环绕天体绕中心天体做匀速圆周运动，由中心天体的万有引力提供向心力．
重力加速度g是联系物体运动和天体运动的桥梁．