Question

如图所示，在光滑绝缘的水平面上固定着两对几何形状完全相同的平行金属板PQ和MN，P、Q与M、N四块金属板相互平行地竖直地放置．已知P、Q之间以及M、N之间的距离都是d=0.2m，极板本身的厚度不计，极板长均为L=0.2m，板间电压都是U=6V且P板电势高．金属板右侧边界以外存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B=5T，磁场区域足够大．现有一质量m=1×10^-4kg，电量q=-2×10^-4C的小球在水平面上以初速度v₀=4m/s从平行板PQ间左侧中点O₁沿极板中线O₁O₁^′射入．
（1）试求小球刚穿出平行金属板PQ的速度；
（2）若要小球穿出平行金属板PQ后，经磁场偏转射入平行金属板MN中，且在不与极板相碰的前提下，最终从极板MN的左侧中点O₂沿中线O₂O₂^′射出，则金属板Q、M间距离是多少？

Answer 1

分析：（1）小球在PQ金属板间在竖直方向受到的重力和支持力平衡，水平方向只受电场力，初速度平行板PQ，小球做类平抛运动，将小球的运动分解：平行于板的方向做匀速直线运动，垂直于板的方向做匀速直线运动．根据牛顿第二定律和运动学规律求解小球刚穿出平行金属板PQ的速度．
（2）题中P板电势高，在电场中小球向P板偏转，进入后磁场后竖直方向重力和支持力仍平衡，由洛伦兹力提供向心力，小球做匀速圆周运动，根据运动的对称性，画出小球的运动轨迹．在MN板间的运动可看作类平抛运动的逆过程处理．由牛顿定律求出圆周运动的半径，运用几何知识求解金属板Q、M间距离．

解答：解：（1）小球在PQ金属板间做类平抛运动．
      小球的加速度a=

qE

m

=

qU

md

=60m/s²
      小球在PQ板间运动的时间t=

L

v0

=0.05s
   则离开PQ板时的速度为v=

v 2 0 + v 2 y

=

v 2 0 +(at)2

=5m/s
   设v方向与PQ板中轴线的夹角为θ，则tanθ=

vy

v0

=

3

4

，θ=37°
  （2）作出俯视图如下．
   由题，P板电势高，则在电场中小球向P板偏转，进入后磁场后做匀速圆周运动，根据运动的对称性，则必须N板电势高于M板电势，其运动轨迹如图所示．
    设小球做匀速圆周运动的半径为R，则
      qvB=m

v2

R

，得R=

mv

qB

=0.5m
   设小球射入和射出磁场时两点间的距离为h，
由几何知识得   h=2Rcosθ=2×0.5×0.8m=0.8m
小球在两平行金属板间偏转的距离y=

1

2

at2=7.5×10^-3m
根据对称性可知，金属板Q、M间距离是s=h-2（

1

2

d+y）=0.45m
答：（1）小球刚穿出平行金属板PQ的速度大小为5m/s，方向与板中轴线的夹角为37°；
    （2）金属板Q、M间距离是0.45m．

点评：带电粒子在电场和磁场中运动研究方法不同：电场中类平抛运动采用运动的合成和分解，磁场中匀速圆周运动画轨迹．