Question

质量为m=1kg的小物块轻轻放在水平匀速运动的传送带上的P点，随传送带运动到A点后水平抛出，小物块恰好无碰撞的沿圆弧切线从B点进入竖直光滑圆孤轨道下滑．B、C为圆弧的两端点，其连线水平．已知圆弧半径R=1.0m圆弧对应圆心角θ=106°，轨道最低点为O，A点距水平面的高度h=0.8m．小物块离开C点后恰能无碰撞的沿固定斜面向上运动，0.8s后经过D点，物块与斜面间的滑动摩擦因数为μ₁=0.33（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）试求：
（1）小物块离开A点的水平初速度v₁
（2）假设小物块与传送带间的动摩擦因数为μ₂=0.3，传送带的速度为5m/s，则PA间的距离是多少？
（3）小物体经过O点时对轨道的压力．
（4）斜面上CD间的距离．

Answer 1

分析：（1）由A到B，物体做平抛，由速度位移关系可得B的竖直速度，由几何关系可知B点速度与竖直方向成

θ

2

角，可得水平速度
（2）由牛顿第二定律可得物块加速度，又知道PA段的初末速度，可求得PA位移
（3）由B到O由动能定理，可得O点的速度，再由O点圆周运动的向心力表达式，可得物体对轨道的压力
（4）物体沿斜面上滑的加速度可由牛顿第二定律求得，进而判定从上滑到停止的时间，比较与给定的时间的关系，判定0.8s后经过D点，是上去的时间还是上去又下来的时间．进而由运动学确定CD距离．

解答：解：
（1）对小物块，由A到B有：

v

2 y

=2gh
在B点tan

θ

2

=

vy

v1

所以v₁=3m/s
（2）小物块在传送带上加速度运动，由牛顿第二定律：μ₂mg=ma₁
PA间的距离是SPA=

v 2 1

2a1

=1.5m
（3）对小物块，由B到O有：mgR(1-sin37°)=

1

2

m

v

2 0

-

1

2

m

v

2 B

其中vB=

32+42

m/s=5m/s
在O点N-mg=m

v 2 0

R

所以N=43N  
 由牛顿第三定律知对轨道的压力为 N′=43N
（4）物块沿斜面上滑：mgsin53°+μ₁mgcos53°=ma₂
解得：a2=10m/s2
物块沿斜面下滑：mgsin53°-μ₂mgcos53°=ma₃
解得：a3=6.2m/s2
由机械能守恒知 v_C=v_B=5m/s
小物块由C上升到最高点历时t1=

vc

a2

=0.5s
小物块由最高点回到D点历时t₂=0.8s-0.5s=0.3s
故SCD=

vc

2

t1-

1

2

a3

t

2 2

解得：S_CD=0.98m
答：
（1）小物块离开A点的水平初速度v₁=3m/s
（2）假设小物块与传送带间的动摩擦因数为μ₂=0.3，传送带的速度为5m/s，则PA间的距离为1.5m
（3）小物体经过O点时对轨道的压力为43N
（4）斜面上CD间的距离0.98m

点评：本题难点和易错点都在第4问，因是上滑问题，故在经过某一点的时间上，我们需要判定是上升的时间，还是上去又下来经过该点的时间．类似是竖直上抛问题．