Question

18．如图所示为一透明柱形棱镜的横截面图，圆弧EF是半径为R的圆的四分之一，圆心为O，ABOF为矩形，OE的中点为P．光线以入射角i=30°从AB面上的M点射入，光进入棱镜后到达BE面恰好在P点发生全反射，最后由EF面上的N点射出．已知OB=$\frac{R}{2}$，真空中的光速为c，求：
（1）棱镜的折射率n；
（2）光从M点传播到P点所用的时间t以及从N点射出时的折射角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）光线射入棱镜后射在BE面上的P点并恰好在BC面上发生全反射，入射角等于临界角C．根据折射定律分别研究光线在AB面上的折射和在BC面的全反射，即可求解折射率n．
（2）由公式v=$\frac{c}{n}$求出光在棱镜中传播速度，由几何关系求出MP间的距离，即可求得时间t．由折射定律求光从N点射出时的折射角的正弦值．

解答 解：（1）光路图如图．设光线在AB面的折射角为r，根据折射定律得：
  n=$\frac{sini}{sinr}$
设棱镜的临界角为C．由题意，光线在BE面上的P点恰好发生全反射，则有 sinC=$\frac{1}{n}$
由几何知识可知，r+C=90°
联立以上各式解出 n=$\frac{\sqrt{5}}{2}$
（2）MP间的距离 s=$\frac{R}{cosr}$
光在棱镜中传播速度 v=$\frac{c}{n}$
则光从M点传播到P点所用的时间 t=$\frac{s}{v}$
解得 t=$\frac{5R}{4c}$
在三角形OPN中，根据正弦定理得
   $\frac{R}{sin（180°-r）}$=$\frac{\frac{R}{2}}{sinα}$
在N点，由折射定律有 n=$\frac{sinθ}{sinα}$
联立得 sinθ=$\frac{1}{4}$
答：
（1）棱镜的折射率n是$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
（2）光从M点传播到P点所用的时间t是$\frac{5R}{4c}$，从N点射出时的折射角的正弦值是$\frac{1}{4}$．

点评 本题是折射现象和全反射现象的综合，关键作出光路图，掌握全反射的条件和临界角公式，结合几何关系求解．