Question

如图所示，是一种电子扩束装置的原理示意图。直角坐标系原点O处有一电子发射装置，可以不断朝xOy平面内x≥0区域任意方向发射电子，电子的速率均为v₀，已知电子的电荷量为e、质量为m。在0≤x≤d的区域内分布着沿x轴负方向的匀强电场，场强大小，在x>d区域内分布着足够大且垂直于xOy平面向外的匀强磁场，匀强磁场的磁感应强度。ab为一块很大的平面感光板，在磁场内平行于y轴放置，电子打到板上后会在板上形成一条亮线。不计电子的重力和电子之间的相互作用。求：

（1）电子进入磁场时速度v的大小；

（2）当感光板沿x轴方向移到某一位置时恰好没有电子打到板上，求板ab到y轴的距离₁；

（3）保持（2）中感光板位置不动，要使所有电子恰好都能打到感光板上时磁感应强度B′的大小以及电子打到板上形成亮线的长度l。

Answer 1

解：

（1）电场力对电子做功，根据动能定理：

            ……………………①

解①得：                     ……………………②

（2）由题意结合左手定则可以判定：若沿y轴负方向射出的电子进入磁场后轨迹与ab板相切不能打到ab板上时，则所有电子均不能打到ab板上，作出其运动轨迹如图所示。

设该电子进入磁场时与竖直方向的夹角为θ，有：

                           ……………………③

电子在洛伦兹力作用下做圆周运动：

                           ……………………④

由图中几何关系：

                ……………………⑤

联解②③④⑤得：

                               ……………………⑥

（3）由题意结合左手定则可以判定：若沿y轴正方向射出的电子进入磁场后轨迹恰好与ab板相切能打到ab板上，则所有电子均能打到板上，作出其运动轨迹如图所示。

由图中几何关系：

                 ……………………⑦

                          ……………………⑧

联解②③⑥⑦⑧得：

                            ……………………⑨

沿y轴正、负方向发射的电子在电场中做类平抛运动，设沿y轴的偏转量为y₁，则：

                          ……………………⑩

                                ……………………⑪

设沿y轴正方向发射的电子打到感光板上时在磁场中运动沿y轴的偏转量为y₂，沿y轴负方向发射的电子打到感光板上时在磁场中运动沿y轴的偏转量为y₃，由图中几何关系得：

                          ……………………⑫

                    ……………………⑬

电子打到板上形成亮线的长度：

                    ……………………⑭

联解⑩⑪⑫⑬⑭得：

                    ……………………⑮

评分参考意见：本题满分19分，其中①式4分，④式2分，②③⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪⑫⑬⑭⑮式各1分；若有其他合理解法且答案正确，可同样给分。