Question

14．如图所示，质量为M、长为L的木板置于光滑的水平面AB上，一质量为m的小物块（可视为质点）放置在木板右端，在木板左方有一墙壁P．T=0时刻开始，小物块与木板一起以共同速度向左运动，直至木板与墙壁碰撞（碰撞时间极短）．碰撞前后木板速度大小不变，方向相反，最后小物块刚好未离开木板．已知M＞m，重力加速度为g．求：
（1）若初速度大小为v₀，求木板与小物块的最终速度的大小；
（2）若初速度大小未知，求碰墙后小物块向左运动离墙壁最近的距离．

Answer 1

分析 （1）木板撞墙后，木板和物块速度反向，二者分别受到相反的大小相等的滑动摩擦力作用而减速，因为M＞m，碰撞后小物块的加速度大于木板的加速度，故小物块先向左减速再向右加速．分别对木板和物块进行分析，由牛顿第二定律求解加速度，根据速度相等条件和速度公式求木板与小物块的最终速度的大小．
（2）撞墙后至木板和小物块刚好达到共同速度的过程中，对木板和小物块分别运用动能定理列式，根据相对位移之和等于板长，求出板长．对木块向右减速到速度为0的过程，由动能定理列式可求碰墙后小物块向左运动离墙壁最近的距离．

解答 解：（1）木板撞墙后，木板和物块速度反向，二者分别受到相反的大小相等的滑动摩擦力作用而减速，因为M＞m，碰撞后小物块的加速度大于木板的加速度，故小物块先向左减速再向右加速．设木板和小物块之间动摩擦因数为μ，碰撞后小物块的加速度为a₁，木板的加速度为a₂，经过时间为t，木板和小物块刚好具有共同速度v．由牛顿第二定律及运动学公式得：
  μmg=ma₁；①
 μmg=Ma₂； ②
 v=-v₀+a₁t  ③
 v=v₀-a₂t  ④
解得 v=$\frac{M-m}{M+m}{v}_{0}$ ⑤
（2）撞墙后至木板和小物块刚好达到共同速度的过程中，
对木块由动能定理可得-fx₁=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$  ⑥
对木板由动能定理可得-fx₂=$\frac{1}{2}M{v}^{2}$-$\frac{1}{2}M{v}_{0}^{2}$ ⑦
又小物块恰好没有脱离木板，故L=x₁+x₂ ⑧
联立⑤⑥⑦⑧解得 L=$\frac{2M{v}_{0}^{2}}{μ（M+m）g}$ ⑨
经分析，木块向右减速到速度为0后再反向加速，故离墙最近之处即其速度为0之时，
对木块向右减速到速度为0的过程，由动能定理可得
-μmgx₀=0-$\frac{1}{2}mv_0^2$ ⑩
联立⑨⑩可得 x₀=$\frac{（M+m）L}{4M}$（11）
故离墙最近的距离 x_min=L-x₀=$\frac{3M-m}{4M}$L
答：
（1）若初速度大小为v₀，木板与小物块的最终速度的大小是$\frac{M-m}{M+m}{v}_{0}$；
（2）若初速度大小未知，碰墙后小物块向左运动离墙壁最近的距离是$\frac{3M-m}{4M}$L．

点评 本题考查牛顿第二定律及运动学公式的应用，涉及两个物体多个过程，题目中问题较多，但只要认真分析运动过程，运用牛顿第二定律、运动学和动能定理结合解答，也可以根据动量守恒定律和动能定理结合解答．