题目内容
图示是我国的“探月工程”向月球发射一颗绕月探测卫星“嫦娥一号”过程简图．月球探测计划“嫦娥工程”预计在2017年送机器人上月球，实地采样送回地球，为载人登月及月球基地选址做准备．设想我国宇航员随“嫦娥”号登月飞船绕月球飞行，飞船上备有以下实验仪器：A．计时表一只，B．弹簧秤一把，C．已知质量为m的物体一个，D．天平一只（附砝码一盒）．
在飞船贴近月球表面时可近似看成绕月球做匀速圆周运动，宇航员测量出飞船在靠近月球表面的圆形轨道绕行N圈所用的时间为t．飞船的登月舱在月球上着陆后，遥控机器人利用所携带的仪器又进行了第二次测量，利用上述两次测量的物理量可出推导出月球的半径和质量．（已知万有引力常量为G），要求：
（1）说明机器人是如何进行第二次测量的？
（2）试推导用上述测量的物理量表示的月球半径和质量的表达式．
（3）若已知R月=
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 6 |
分析：（1）机器人在月球上用弹簧秤竖直悬挂物体，静止时读出弹簧秤的读数F，即为物体在月球上所受重力的大小．
（2）静止时读出弹簧秤的读数F，求出月球表面重力加速度．不考虑月球的自转影响，根据重力近似等于月球的万有引力，列方程得出月球表面重力加速度与月球半径的关系式，再飞船在绕月球运行时，由万有引力提供飞船做圆周运动的向心力列方程，得到月球质量与月球半径、飞船周期的关系式，再联立求解月球半径和质量的表达式．
（3）根据万有引力提供向心力，得到近月卫星和近地卫星速度的表达式，再求出两速度之比．
（2）静止时读出弹簧秤的读数F，求出月球表面重力加速度．不考虑月球的自转影响，根据重力近似等于月球的万有引力，列方程得出月球表面重力加速度与月球半径的关系式，再飞船在绕月球运行时，由万有引力提供飞船做圆周运动的向心力列方程，得到月球质量与月球半径、飞船周期的关系式，再联立求解月球半径和质量的表达式．
（3）根据万有引力提供向心力，得到近月卫星和近地卫星速度的表达式，再求出两速度之比．
解答：解：（1）机器人在月球上用弹簧秤竖直悬挂物体，静止时读出弹簧秤的读数F，即为物体在月球上所受重力的大小．
（2）在月球上忽略月球的自转可知 mg月=F ①G
=mg月②
飞船在绕月球运行时，因为是靠近月球表面，故近似认为其轨道半径为月球的半径R，由万有引力提供飞船做圆周运动的向心力可知G
=mR
③又 T=
④
由①．②．③．④式可知月球的半径 R=
=
，
月球的质量 M=
．
（3）设近月卫星和近地卫星的速度分别为v月、v地．
由G
=m
得v=
=
则
=
=
．
答：（1）机器人是这样进行第二次测量的：机器人在月球上用弹簧秤竖直悬挂物体，静止时读出弹簧秤的读数F，即为物体在月球上所受重力的大小．
（2）月球半径的表达式R=
，质量表达式量M=
．
（3）近月卫星的运行速度约为近地卫星运行速度的
倍．
（2）在月球上忽略月球的自转可知 mg月=F ①G
| Mm |
| R2 |
飞船在绕月球运行时，因为是靠近月球表面，故近似认为其轨道半径为月球的半径R，由万有引力提供飞船做圆周运动的向心力可知G
| Mm |
| R2 |
| 4π2 |
| T2 |
| t |
| N |
由①．②．③．④式可知月球的半径 R=
| FT2 |
| 4π2m |
| Ft2 |
| 4π2N2m |
月球的质量 M=
| F3t4 |
| 16π4GN4m3 |
（3）设近月卫星和近地卫星的速度分别为v月、v地．
由G
| Mm |
| R |
| v2 |
| R |
|
| gR |
则
| V月 |
| V地 |
|
|
答：（1）机器人是这样进行第二次测量的：机器人在月球上用弹簧秤竖直悬挂物体，静止时读出弹簧秤的读数F，即为物体在月球上所受重力的大小．
（2）月球半径的表达式R=
| Ft2 |
| 4π2N2m |
| F3t4 |
| 16π4GN4m3 |
（3）近月卫星的运行速度约为近地卫星运行速度的
| 1 | ||
|
点评：登月飞船绕月球旋转与人造卫星绕地球运行相似，要建立物理模型：飞船绕月做匀速圆周运动，由月球的万有引力提供飞船的向心力．
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