Question

7．一列火车共有n节车厢，各车厢间距相等，间距总长为a．第一节车厢以速度v向第二节车厢运动，碰后不分开，然后一起向第三节车厢运动，…依次直到第n节车厢．试求：
（1）火车的最后速度多大？
（2）整个过程经历的时间多长？

Answer 1

分析 （1）n节车厢运动、碰撞中，系统所受外力之和为零，由动量守恒求解
（2）根据碰撞后连接在一起的车厢的速度规律和位移关系求出整个过程经历的时间．

解答 解：（1）n节车厢运动、碰撞中，系统所受外力之和为零，设运动方向为正方向；
由动量守恒得，
mv=nmv_n
解得：v_n=$\frac{v}{n}$
（2）设每两节相邻车厢间距为s，则有：$s=\frac{a}{n-1}$
碰撞后连接在一起的车厢节数依次为2节、3节…（n-1）节，
它们的速度相应为$\frac{v}{2}$，$\frac{v}{3}$，$\frac{v}{4}$…，所以火车的最后速度为$\frac{v}{n}$
由x=vt得：通过各间距的时间分别为：${t}_{1}=\frac{s}{v}=\frac{a}{（n-1）v}$${t}_{2}=\frac{s}{\frac{v}{2}}=\frac{2a}{（n-1）v}$，${t}_{3}=\frac{s}{\frac{v}{3}}=\frac{3a}{（n-1）v}$…${t}_{n-1}=\frac{s}{\frac{v}{n-1}}=\frac{（n-1）a}{（n-1）v}$
整个过程经历的时间为：
t=t₁+t₂+t₃+…+t_n-1
=$\frac{a}{（n-1）v}$+$\frac{2a}{（n-1）v}$+$\frac{3a}{（n-1）v}$+…$\frac{（n-1）a}{（n-1）v}$=$\frac{na}{2v}$
答：（1）火车的最后速度是$\frac{v}{n}$；
（2）整个过程经历的时间是$\frac{na}{2v}$．

点评 解决该题关键要应用动量守恒定律与运动位移与速度关系求解，应用动量守恒定律解题时，要注意过程的选择与研究对象的选择．