Question

9．在做“用单摆测定重力加速度”的实验中．
（1）如果测得的g值偏大，可能的原因是D（填写字母代号）
A．测摆长时，忘记了摆球的半径
B．摆线上端悬点未固定牢，摆动中出现松动，使摆线长度增加了
C．开始计时时，秒表过早按下
D．实验中误将49次全振动次数记为50次
（2）某同学在实验中，测量6种不同摆长l情况下单摆的振动周期T，记录实验数据如下：

l/m	0.4	0.5	0.8	0.9	1.0	1.2
T/s	1.26	1.42	1.79	1.90	2.00	2.20
T2/s2	1.59	2.02	3.20	3.61	4.00	4.84

请以l为横坐标，T²为纵坐标，在如图1中作出T²-l图线，并利用此图线得重力加速度g=9.86m/s²．（取π²=9.86，结果保留三位有效数字）
（3）一位同学查阅资料得知，单摆在最大摆角θ较大时周期公式可近似表述为T=2π（1+$\frac{1}{4}$sin²$\frac{θ}{2}$）$\sqrt{\frac{l}{g}}$．为了用图象法验证单摆周期T和最大摆角θ的关系，他测出摆长为l的同一单摆在不同最大摆角θ时的周期T，并根据实验数据描绘出如图2所示的图线．根据所给周期公式可知，图中的纵轴表示的是sin²$\frac{θ}{2}$，图线延长后与横轴交点的横坐标为$2π\sqrt{\frac{l}{g}}$．

Answer 1

分析 （1）根据单摆的周期公式得出重力加速度的表达式，逐项分析，得出重力加速度测量值偏大的原因；
（2）根据给出的数据，在坐标系中画出相应的图线，然后从中选取合适的点，求出图线的斜率，然后结合重力加速度的表达式，求出重力加速度；
（3）结合单摆在最大摆角θ较大时周期公式推导出与T的一次函数关系式，从而分析判断．

解答 解：（1）根据$T=2π\sqrt{\frac{L}{g}}$得，g=$\frac{4{π}^{2}L}{{T}^{2}}$，
A、测摆长时，忘记了摆球的半径，则摆长的测量值偏小，则重力加速度的测量值偏小．故A错误；
B、摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了，则摆长的测量值偏小，重力加速度测量值偏大．故B错误；
C、开始计时时，秒表过早按下，则周期的测量值偏大，重力加速度的测量值偏小．故C错误；
D、实验中误将49次全振动次数记为50次，则周期测量值偏小，重力加速度测量值偏大．故D正确．
故选：D．
（2）以摆长L为横坐标，T²为纵坐标，作出T²-L图线如图；
根据单摆的周期公式$T=2π\sqrt{\frac{L}{g}}$得，g=$\frac{4{π}^{2}L}{{T}^{2}}$，
所以图线的斜率k=$\frac{{T}^{2}}{L}=\frac{4{π}^{2}}{g}$
由图可得：k=$\frac{4.8}{1.20}=4$
所以：g=$\frac{4{π}^{2}}{k}=9.86m/{s}^{2}$
（3）实验中得到的线性图线，根据为T=2π（1+$\frac{1}{4}$sin²$\frac{θ}{2}$）$\sqrt{\frac{l}{g}}$，得sin²$\frac{θ}{2}$=$\frac{2}{π\sqrt{\frac{l}{g}}}T-4$，所以sin²$\frac{θ}{2}$与T成一次函数关系，
所以图乙中的纵轴表示的是sin²$\frac{θ}{2}$，图线延长后与横轴交点的横坐标位$2π\sqrt{\frac{l}{g}}$
故答案为：（1）D；
（2）图象如图，9.86；
（3）sin²$\frac{θ}{2}$，$2π\sqrt{\frac{l}{g}}$．

点评 解决本题的关键掌握单摆的周期公式，会通过图象法求解重力加速度，本题第三问关键根据表达式分析出$（sin\frac{θ}{2}）^{2}$与T的一次函数关系式