Question

如图所示，在一对以板长为2a、板间距离为

2

3

a的平行板围成的矩形EFQP区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场．现有一质量为m、电量为q的带正电粒子从静止开始经过电势差为U的电场加速后，从EF边的中点小孔D处垂直于EF边进入磁场，不计重力和空气阻力的影响．
（1）若粒子的轨道半径为a，求磁场的磁感应强度B的大小；
（2）若改变磁感应强度的大小，使粒子恰好未碰PQ板，求粒子在磁场中运动的时间；
（3）若再次改变磁感应强度的大小，使粒子与ED板多次碰撞后刚好击中板端E点，试讨论此种情况粒子在磁场中运动的时间与碰撞次数的关系．（不计粒子与ED板碰撞的作用时间．设粒子与ED板碰撞前后，电量保持不变并以相同的速率反弹．）

Answer 1

分析：（1）粒子进入磁场后由洛仑兹力提供向心力，通过动能定理即圆周运动向心力公式即可求出B；
（2）通过对题目的分析作出粒子运动的轨迹图，根据数学知识可得到其运动的轨迹半径，通过周期公式及几何关系即可求出粒子在磁场中运动的时间；
（3）设粒子运动圆周半径为r，经过n次碰撞，即经过n个半圆运动，最后一次打到E点，已知其运动的周期，就可以求出粒子在磁场中运动时间，就可以判断时间与碰撞次数有无关系．

解答：解：（1）设粒子经电场加速射入磁场时的速度为v，
由动能定理有：qU=

1

2

m v2  ①
又设当粒子的轨道半径为r₁=a时，磁场的磁感应强度为B，由洛仑兹力提供向心力有：qvB=m

v2

r1

  ②
联立①②式并代入已知量解得：B=

1

a

2mU q

 
（2）若粒子恰好未碰PQ板，则由题意和作图知其轨道半径为：
    r2=

2

3

a   ③
设粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角为α，
由图中几何关系有：
    α=

π

2

+θ       ④
   sinθ=

a-r2

r2

     ⑤
而周期为：T=

2πr2

v

 ⑥
粒子在磁场中运动时间为：t=

α

2π

? T ⑦
联立①③④⑤⑥⑦式并解得：t=

4πa

9

m 2qU

    
（3）设粒子运动圆周半径为r，经过n次碰撞，即经过n个半圆运动，最后一次打到E点．
有：n=

a

2r

 ⑧
圆周运动周期：T=

2πr

v

     ⑨
粒子在磁场中运动时间：tm=n

T

2

  ⑩
联立①⑧⑨⑩式并解得：tm=

πa

2

m 2qU

  
显然，此种情况粒子在磁场中运动的时间与碰撞次数无关．
答：（1）若粒子的轨道半径为a，磁场的磁感应强度B的大小为

1

a

2mU q

；（2）若改变磁感应强度的大小，使粒子恰好未碰PQ板，求粒子在磁场中运动的时间为

4πa

9

m 2qU

；（3）若再次改变磁感应强度的大小，使粒子与ED板多次碰撞后刚好击中板端E点，粒子在磁场中运动的时间为

πa

2

m 2qU

与碰撞次数的无关．

点评：该题是带电粒子在磁场中运动的题型，要求同学们能画出粒子运动的轨迹并结合数学知识解题，还要注意粒子运动的周期性，难度较大．