题目内容
（2011?洪山区模拟）我国降雨呈现南多北少的局面，有资料标明武汉市的年平均降雨量为1260mm．在下雨天我们会明显感觉到雨点越大，雨点对雨伞的冲击力也就越大，这一现象能否说明雨点越大，雨点落到地面的速度也就越大呢？现已知雨点下落过程受到的空气阻力与雨点的最大横截面积成正比，与雨点下落的速度v的平方成正比，即f=kSv2（其中k为比例比例系数）．雨点接近地面时近似看作匀速直线运动，重力加速度为g．若把雨点看作球形，其半径为r，球体的体积为
，雨点的密度为ρ，求：
（1）雨点最终的运动速度vm．（用ρ、r、g、k表示）
（2）遇到的速度达到
时，雨点的加速度a的大小．
| 4πr3 |
| 3 |
（1）雨点最终的运动速度vm．（用ρ、r、g、k表示）
（2）遇到的速度达到
| vm |
| 2 |
分析：（1）雨点在下落过程中受到重力和空气阻力作用，由于雨点接近地面时看做匀速运动，受力平衡，重力等于摩擦力，由f=kSv2及球体质量为ρV=ρ
，即可求解；
（2）根据瞬时速度表示出空气阻力，有牛顿第二定律即可求解．
| 4πr3 |
| 3 |
（2）根据瞬时速度表示出空气阻力，有牛顿第二定律即可求解．
解答：解：（1）雨点在下落过程中受到重力和空气阻力作用，由于雨点接近地面时看做匀速运动，所以有：
f=mg
由题意知：f=kSv2
S=πr2
m=ρ?
πr3
联立解得：vm=2
．
（2）当雨点的速度达到
时，空气的阻力f′=kS（
）2=
f
由牛顿第二定律得：mg-f′=ma
解得：a=
g．
答：（1）雨点最终的运动速度vm=2
（2）雨点的加速度a为
g．
f=mg
由题意知：f=kSv2
S=πr2
m=ρ?
| 4 |
| 3 |
联立解得：vm=2
|
（2）当雨点的速度达到
| vm |
| 2 |
| vm |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
由牛顿第二定律得：mg-f′=ma
解得：a=
| 3 |
| 4 |
答：（1）雨点最终的运动速度vm=2
|
| 3 |
| 4 |
点评：本题是实际问题与物理模型相结合的题目，主要考查二力平衡和牛顿第二定律的应用，难度不大，属于基础题．
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