Question

13．如图所示，一根匀质绳质量为m，其两端固定在天花板上的A、B两点，在绳的中点悬挂一重物，质量为M，悬挂重物的绳PQ质量不计．设α、β分别为绳子端点和中点处绳子的切线方向与竖直方向的夹角，则$\frac{tanα}{tanβ}$的大小为（　　）

• A． $\frac{M}{M+m}$
• B． $\frac{m}{m+M}$
• C． $\frac{M}{2（M+m）}$
• D． $\frac{m}{2（M+m）}$

Answer 1

分析 以整体为研究对象，根据平衡条件分析端点处对绳子的拉力与总重力的关系式；对左半边绳子研究，得到端点和中点绳子的拉力的关系式；再采用比例法求解．

解答 解：设悬点A、B处对绳的拉力为F₁，取绳M和m为一整体，受力分析如图（甲）所示．

由平衡条件得：2F₁cos α=（M+m）g．
设绳在P点的张力大小为F₂，对P点受力分析如图（乙）所示．
由平衡条件得：2F₂cos β=Mg．
再以AP段绳为研究对象，受力分析如图（丙）所示．
由水平方向合力为零可得：
  F₁sin α=F₂sin β
由以上三式联立可得：$\frac{tanα}{tanβ}$=$\frac{M}{M+m}$．
故选：A

点评 本题是力平衡问题，采用隔离法和整体法研究，如何选择研究对象和如何运用数学知识变形是关键．