Question

如图所示，在xoy坐标系内有垂直xoy所在平面的范围足够大的匀速磁场，磁感应强度为B．某时刻有两个粒子M、N分别从坐标原点O及x轴上的P点开始运动．M粒子带电量为q，质量为m，初速度方向沿y轴正方向，速度大小为V_M．运动轨迹如图所示．N粒子带电量为q，质量为m/2，初速度方向是在xoy平面内的所有可能的方向，P点到O点距离是M粒子轨道半径的3倍，两粒子所受的重力不计．
（1）M粒子带的是正电还是负电？运动的轨道半径R_M是多少？
（2）若两个粒子相遇的位置在（R_M，R_M）的A点，则N粒子速度V_N是多大？
（3）N粒子的速度V_N有一临界值V，当V_N＜V时，两个粒子不可能相遇，求临界值v的大小．

Answer 1

分析：（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，根据左手定则判断其电性，由牛顿第二定律列式求其轨道半径；
（2）由周期公式T=

2πm

qB

得到T_M=2T_N，根据周期性得到：M粒子由O点运动到A点的时间为 tM=(n+

1

4

)TM，N粒子由P点运动到A点的时间为 tN=tM=(n+

1

4

)TM=(2n+

1

2

)TN，由于两个粒子相遇的位置在（R_M，R_M）的A点，AN为粒子N圆周运动的直径，由几何知识求出其轨道半径，即可求得N粒子速度V_N．
（3）画出轨迹，假设两粒子相遇在Q点，由几何关系有PQ=2R_Nsinθ，如图，由数学知识求出两个圆周运动半径关系，得到速度关系，从而求出临界值v的大小．

解答：解：（1）由左手定则知，M粒子带负电，
由牛顿第二定律得
    qv_MB=m

v 2 M

RM

 
得 RM=

mVM

qB

（2）由T=

2πm

qB

知，T_M=2T_N
M粒子由O点运动到A点的时间为 tM=(n+

1

4

)TM，N粒子由P点运动到A点的时间为 tN=tM=(n+

1

4

)TM=(2n+

1

2

)TN
可知，AN长度为粒子N做圆周运动的直径，由几何关系有 (3RM-R M)2+RM2=(2RN)2
解得：RN=

5

RM/2
又 RN=

0.5mVN

qB

 
 可得：VN=

5

VM
（3）如图所示，假设两粒子相遇在Q点，由几何关系有PQ=2R_Nsinθ
由正弦定理有 

pQ

sinα

=

RM

sinβ

 
即 

2RNsinθ

sin(π-θ)

=

RM

sinβ

  得 2R_N=

RM

sinβ

  V_N=

VM

sinβ

 
又由于  sinβ≤

RM

3RM-RM

=0.5
得V_N≥2V_M，即：v=2V_M
答：
（1）M粒子带负电，运动的轨道半径R_M是

mVM

qB

．
（2）若两个粒子相遇的位置在（R_M，R_M）的A点，则N粒子速度V_N是

5

VM．
（3）N粒子的速度V_N有一临界值V，当V_N＜V时，两个粒子不可能相遇，临界值v的大小为2V_M．

点评：本题是带电粒子在磁场中圆周运动的问题，关键是运用数学知识分析两个粒子之间运动周期和轨迹半径的关系，考查运用数学知识处理物理问题的能力．