Question

如图所示，在质量为M=0.99kg的小车上，固定着一个质量为m=10g、电阻R=1Ω的矩形单匝线圈MNPQ，其中MN边水平，NP边竖直，高度l=0.05m．小车载着线圈在光滑水平面上一起以v₀=10m/s的速度做匀速运动，随后进入一水平有界匀强磁场（磁场宽度大于小车长度），完全穿出磁场时小车速度v₁=2m/s．磁场方向与线圈平面垂直并指向纸内、磁感应强度大小B=1.0T．已知线圈与小车之间绝缘，小车长度与线圈MN边长度相同．求：
（1）小车刚进入磁场时线圈中感应电流I的大小和方向；
（2）小车通过磁场的过程中线圈电阻的发热量Q；
（3）小车进入磁场过程中线圈克服安培力所做的功W．

Answer 1

分析：（1）小车刚进入磁场时线圈切割磁感线产生感应电动势，由公式E=Blv求出感应电动势，根据欧姆定律求解感应电流的大小，根据楞次定律判断感应电流的度方向；
（2）小车通过磁场的过程中，小车与线圈的总动能减小转化为内能，根据能量守恒定律求解热量Q；
（3）要求小车进入磁场过程中线圈克服安培力所做的功W，关键要求小车完全进入磁场后的速度v．根据牛顿第二定律和加速度的定义式a=

△v

△t

、电量q=i△t结合得到小车进入磁场过程中小车的速度变化量与电量的关系式，同理得到小车离开磁场时速度变化量与电量的关系式，由于进入和离开磁场两个过程中，通过线圈的电量大小相等，联立即可求解速度v，再根据功能关系求解W．

解答：解：
（1）线圈切割磁感线的速度v₀=10m/s，感应电动势为 E=Blv₀=1×0.05×10=0.5V
由闭合电路欧姆定律得，线圈中电流为　I=

E

R

=

0．5

1

=0．5A          
由楞次定律知线圈中感应电流方向为 M→Q→P→N→M    
（2）线圈进入磁场和离开磁场时克服安培力做功，动能转化成电能，产生的电热为
  Q=

1

2

（M+m）

v

2 0

-

1

2

（M+m）

v

2 1

=

1

2

×1×102-

1

2

×1×22=48（J）
（3）设小车完全进入磁场后速度为v，在小车进入磁场从t时刻到t+△t时刻（△t→0）过程中，根据牛顿第二定律得
  -Bil=m

△v

△t

即-Bl?i△t=m△v，
而i△t=q_入
求和得 BLq_入=m（v₀-v） 
同理得 
  BLq_出=m（v-v₁） 
而 q=i△t=

E

R

?△t=

△Φ

R?△t

?△t=

△Φ

R

又线圈进入和穿出磁场过程中磁通量的变化量相同，因而有 q_入=q_出
故得  v₀-v=v-v₁  即有 v=

v0+v1

2

=6 m/s 
所以，小车进入磁场过程中线圈克服安培力做功
W_克=

1

2

（M+m）

v

2 0

-

1

2

（M+m）v²=

1

2

×1×102-

1

2

×1×62=32（J）
答：
（1）小车刚进入磁场时线圈中感应电流I的大小为0.5A，方向为 M→Q→P→N→M；
（2）小车通过磁场的过程中线圈电阻的发热量Q为48J；
（3）小车进入磁场过程中线圈克服安培力所做的功W为32J．

点评：本题的解题关键是根据牛顿第二定律，运用积分法求解小车进入磁场后的速度v，也可以根据动量定理列式求出v．