Question

  如图所示，质量为m的小球，由长为l的细线系住，细线的另一端固定在A点，AB是过A的竖直线，E为AB上的一点，且AE=0.5l，过E作水平线EF，在EF上钉铁钉D，若线能承受的最大拉力是9mg，现将细线拉直呈水平状态，然后由静止释放小球，若小球能绕钉子在竖直面内做圆周运动，求钉子位置在水平线上的取值范围。不计线与钉子碰撞时的能量损失。

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解析：这是一个圆周运动与机械能两部分知识综合应用的典型问题。题中涉及两个临界条件：一是线承受的最大拉力不大于9mg；另一个是在圆周运动的最高点的瞬时速度必须不小于（是做圆周运动的半径）。

设在D点绳刚好承受最大拉力，设DE=x，则：

悬线碰到钉子后，绕钉做圆周运动的半径为：

    ①

当小球落到D点正下方时，绳受到的最大拉力为F，此时小球的速度v，由牛顿第二定律有：

结合可得         ②

由机械能守恒定律得：即：         ③

由①②③式联立解得：

随着x的减小，即钉子左移，绕钉子做圆周运动的半径越来越大。转至最高点的临界速度也越来越大，但根据机械能守恒定律，半径约大，转至最高点的瞬时速度越小，当这个瞬时速度小于临界速度时，小球就不能到达圆的最高点了。

设钉子在G点小球刚能绕钉做圆周运动到达圆的最高点，设EG=x' 如图,则

       在最高点：       由机械能守恒定律得：       ⑥

由④⑤⑥联立得在水平线上EF上钉子的位置范围是：