题目内容
我国航天技术世界领先，天宫、神八相继发射成功，由此激发了我们对地球运动的深入研究．设地球和太阳的质量分别为m和M，地球绕太阳作椭圆运动，轨道的半长轴为a，半短轴为b，如图所示．（已知：地球的势能为-| GMm | r |
（1）由能量与行星运动规律写出，地球在椭圆顶点A、B、C三点的运动速度vA，vB，vC有关的方程组．
（2）由（1）有关的方程组求出地球在椭圆顶点A、B、C三点的运动速度vA，vB，vC．
（3）求出地球运动轨迹在A、C两点的曲率半径ρA、ρC．
（以上有关结果由G、M、m、a、b表示）
分析：（1、2）地球做椭圆运动的过程中，机械能守恒．根据机械能守恒定律，开普勒第二定律以及a、b、c的关系列出表达式，并求出A、B、C的速度大小．
（3）将A、C两点的万有引力沿切向和法向进行分解，沿法向方向上的合力提供向心力，根据该规律求出A、C两点的曲率半径．
（3）将A、C两点的万有引力沿切向和法向进行分解，沿法向方向上的合力提供向心力，根据该规律求出A、C两点的曲率半径．
解答：解：
（1）针对地球从A点运动到B点的过程，机械能守恒
mvA2+（-G
）=
mvB2+（-G
） ①
比较A、B两点，应用开普勒第二定律，有：vA（a-c）=vB（a+c）②
结合椭圆的基本关系：c=
③
（2）解以上三式可得：vA=
④，
vB=
⑤
再针对地球从A到C的过程，应用机械能守恒定律，有
mvA2+（-G
）=
mvC2+（-G
）代入vA值可解得：vC=
⑥
（3）为求A、C两点的曲率半径，在A、C两点建自然坐标，然后应用动力学（法向）方程．
在A点，F万=ΣFn=m an，设轨迹在A点的曲率半径为ρA，即：G
=m
代入vA值可解得：ρA=
在C点，须将万有引力在τ、n方向分解，如图所示．然后，F万n=ΣFn=m an，即：F万cosθ=m
即：G
?
=m
代入vC值可解得：ρC=
故地球运动轨迹在A、C两点的曲率半径分别为ρA=
、ρC=
．
（1）针对地球从A点运动到B点的过程，机械能守恒| 1 |
| 2 |
| Mm |
| a-c |
| 1 |
| 2 |
| Mm |
| a+c |
比较A、B两点，应用开普勒第二定律，有：vA（a-c）=vB（a+c）②
结合椭圆的基本关系：c=
| a2-b2 |
（2）解以上三式可得：vA=
a+
| ||
| b |
|
vB=
a-
| ||
| b |
|
再针对地球从A到C的过程，应用机械能守恒定律，有
| 1 |
| 2 |
| Mm |
| a-c |
| 1 |
| 2 |
| Mm |
| a |
|
（3）为求A、C两点的曲率半径，在A、C两点建自然坐标，然后应用动力学（法向）方程．
在A点，F万=ΣFn=m an，设轨迹在A点的曲率半径为ρA，即：G
| Mm |
| (a-c)2 |
| ||
| ρA |
| b2 |
| a |
在C点，须将万有引力在τ、n方向分解，如图所示．然后，F万n=ΣFn=m an，即：F万cosθ=m
| ||
| ρC |
| Mm |
| a2 |
| b |
| a |
| ||
| ρC |
代入vC值可解得：ρC=
| a2 |
| b |
故地球运动轨迹在A、C两点的曲率半径分别为ρA=
| b2 |
| a |
| a2 |
| b |
点评：解决本题的关键抓住地球做椭圆运动的过程中机械能守恒，以及知道地球在做椭圆运动的过程中，万有引力沿法向的合力提供向心力．
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